嘿，我完全懂你现在的困惑——绕开正虚轴构造辐角和对数分支，确实容易在变量替换时踩坑，尤其是连续性的验证，我来帮你理清楚：

首先明确我们的核心目标：要构造在$\mathbb{C}\setminus{ti\mid t\ge0}$（也就是挖掉正虚轴的复平面）上连续、且满足对应性质的辐角分支$f(z)$和对数分支$g(z)$。

先搞定辐角分支 #

你提到的$Arg(-iz)$其实是个完全正确的方向！我们来拆解为什么它可行，以及为什么$Arg(iz)$不行：

• 先回忆下标准的主辐角$Arg(w)$：它定义在$\mathbb{C}\setminus{s\mid s\le0}$（挖掉负实轴），取值范围是$(-\pi,\pi]$，在定义域内连续。
• 当我们做变量替换$w=-iz$时：如果$z$在正虚轴上（即$z=ti,t\ge0$），那么$w=-i\cdot ti=t$，也就是正实轴；反过来，如果$w$在负实轴上（$w=s\le0$），那么$z=-iw=-is=ti$（$t=-s\ge0$），正好是我们要挖掉的正虚轴。这就意味着：$z\in\mathbb{C}\setminus{ti\mid t\ge0}$等价于$w=-iz\in\mathbb{C}\setminus{s\mid s\le0}$，完美匹配$Arg(w)$的定义域！
• 那为什么$Arg(iz)$不行？因为$iz$会把正虚轴映射到负实轴——比如你试的$z=i+a$（$a>0$小量），$iz=-1+ia$，辐角接近$\pi$；$z=i-a$（$a>0$小量），$iz=-1-ia$，辐角接近$-\pi$，两边极限差了$2\pi$，自然不连续。这本质是因为$iz$把我们要避开的正虚轴，直接送到了$Arg(w)$的不连续点（负实轴）上，肯定出问题。
• 再验证$Arg(-iz)$的连续性：比如取$z$从右侧靠近$i$（$z=i+a,a\to0^{+$），$w=-iz=-i(i+a)=1-ia$，$Arg(w)$的极限是$0$；从左侧靠近$i$（$z=i-a,a\to0}+$），$w=-iz=-i(i-a)=1+ia$，$Arg(w)$的极限也是$0$，两边完全一致，在正虚轴外的所有点都是连续的，完全符合要求。

再构造对数分支 #

有了靠谱的辐角分支，对数分支就水到渠成了：
我们可以基于标准的主对数分支$\text{Log}(w)=\ln|w|+iArg(w)$来构造，用刚才的变量替换$w=-iz$，然后做个小调整保证$e^{g(z)}=z$：
$$g(z)=\text{Log}(-iz)+i\frac{\pi}{2}$$
验证一下：$e^{g(z)}=e{\text{Log}(-iz)+i\pi/2}=(-iz)\cdot e^{i\pi/2}=(-iz)\cdot i=z$，完全满足对数分支的核心性质！而且因为$\text{Log}(w)$的定义域是$\mathbb{C}\setminus{s\mid s\le0}$，对应到$z$就是$\mathbb{C}\setminus{ti\mid t\ge0}$，完美避开了正虚轴，连续性也继承了$\text{Log}(w)$的连续性。

或者你也可以直接用辐角分支来写：$g(z)=\ln|z|+i\left(Arg(-iz)+\frac{\pi}{2}\right)$，和上面的表达式是等价的，因为$\ln|-iz|=\ln|z|$，$Arg(-iz)+\frac{\pi}{2}$就是$z$的连续辐角值。

最后补个小总结 #

• 辐角分支推荐用$f(z)=Arg(-iz)$，它在$\mathbb{C}\setminus{ti\mid t\ge0}$上连续，取值范围是$(-\pi,\pi]$，对应的$z$的辐角值（即满足$z=|z|e^{i\theta(z)}$的$\theta(z)$）是$Arg(-iz)+\frac{\pi}{2}$，范围是$(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$
• 对数分支推荐用$g(z)=\text{Log}(-iz)+i\frac{\pi}{2}$，或者等价的辐角形式，同样满足定义域和连续性要求

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FNB