咱们先看一个典型的例子：方程$(x-y)^2=0$其实隐式定义的函数就是$y=x$，这个函数的导数显然是1对吧？但用隐函数求导的过程，却会得到一个在$y=x$点上看起来无定义的表达式，咱们一步步拆解这个过程：

首先从原方程开始：
$$(x-y)^2=0$$

对等式两边关于$x$求导：
$$\frac{d}{dx}( x-y)^{2} =\frac{d}{dx} 0$$

应用链式法则展开左边：
$$2(x-y)\frac{d}{dx}(x-y) =0$$

两边同时除以2，得到：
$$(x-y)\frac{d}{dx}(x-y) =0$$

展开求导项：
$$(x-y)\left(\frac{d}{dx} x-\frac{dy}{dx}\right) =0$$

化简$\frac{d}{dx}x=1$：
$$(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right) =0$$

把左边展开：
$$(x-y) -(x-y)\frac{dy}{dx} =0$$

移项后得到：
$$(x-y)\frac{dy}{dx}=(x-y)$$

到这里，如果我们直接两边除以$(x-y)$，就会得到$\frac{dy}{dx}=1$，但这个操作的前提是$x-y\neq0$，可原函数的所有点都满足$x=y$，也就是$x-y=0$，这时候直接约分得到的表达式在这些点上就“无定义”了。

但这并不代表这些点的导数不存在！因为原函数明确是$y=x$，它在所有点的导数都是1。问题出在我们做约分操作的时候，默认排除了$x-y=0$的情况，但原函数的定义域刚好就是$x-y=0$，这时候我们得回到之前的等式$(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right) =0$来看：当$x-y=0$时，这个等式本身无法直接确定导数，但结合原函数的实际定义，我们能明确导数是唯一的1，不能被约分后无定义的表达式误导。

所以结论很明确：隐函数求导得到的表达式在某点无定义，并不意味着该点的导数一定不存在，很多时候是求导过程中的代数操作（比如约分）丢失了该点的信息，这时候要结合原函数的实际情况来分析。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nikolay Isaev