二元分段函数在原点处的连续性、偏导数存在性与连续性及可微性判断问题
咱们先把这个二元分段函数的定义明确下来：
$$
f(x,y)=\begin{cases}(x-y)^2\sin \frac{1}{x-y},&\text{ if } x\ne y\0 ,&\text{ if } x=y\end{cases}
$$
接下来咱们逐个分析给出的四个选项：
选项(1)：f在(0,0)处连续
要判断连续性，只需验证$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$是否等于$f(0,0)=0$。
当$x\neq y$时，令$t=x-y$，当$(x,y)\to(0,0)$时，$t\to0$，此时$f(x,y)=t^2\sin\frac{1}{t}$。
因为$|\sin\frac{1}{t}|\leq1$，所以$|t^2\sin\frac{1}{t}|\leq t2$，而$\lim_{t\to0}t2=0$，根据夹逼准则，$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，所以$f$在$(0,0)$处连续，该选项正确。选项(2)：偏导数$f_x$在(0,0)处不存在
咱们用偏导数的定义直接计算$f_x(0,0)$：
$$
\begin{aligned}
f_x(0,0) &=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}\
&=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin \frac{1}{h}-0}{h}\
&=\lim_{h\to 0}h\sin \frac{1}{h}\
&=0
\end{aligned}
$$
同理可得$f_y(0,0)=0$，说明两个偏导数在$(0,0)$处都存在，该选项错误。选项(3)：$f_x$在(0,0)处连续
先求$x\neq y$时的$f_x$，利用乘积法则对$f(x,y)$求关于$x$的偏导：
$$
\begin{aligned}
f_x(x,y)&=2(x-y)\sin\frac{1}{x-y} + (x-y)2\cdot\cos\frac{1}{x-y}\cdot\left(-\frac{1}{(x-y)2}\right)\
&=2(x-y)\sin\frac{1}{x-y} - \cos\frac{1}{x-y}
\end{aligned}
$$
现在看$(x,y)\to(0,0)$且$x\neq y$时的极限，比如取路径$y=x-h$（$h\to0$），则$x-y=h$，代入得$f_x=2h\sin\frac{1}{h} - \cos\frac{1}{h}$。当$h\to0$时，$2h\sin\frac{1}{h}\to0$，但$\cos\frac{1}{h}$会在$-1$到$1$之间无限振荡，没有确定的极限，所以$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y)$不存在，自然不等于$f_x(0,0)=0$，因此$f_x$在$(0,0)$处不连续，该选项错误。选项(4)：f在(0,0)处可微
根据可微的定义，需要验证：
$$
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0
$$
已知$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，当$\Delta x\neq\Delta y$时，分子就是$f(\Delta x,\Delta y)=(\Delta x-\Delta y)^2\sin\frac{1}{\Delta x-\Delta y}$；当$\Delta x=\Delta y$时，分子为0。
令$t=\Delta x-\Delta y$，由三角不等式可得$|t|=|\Delta x-\Delta y|\leq|\Delta x|+|\Delta y|\leq2\sqrt{\Delta x^2+\Delta y2}$，因此$t2\leq4(\Delta x^2+\Delta y^2)$。
那么：
$$
\left|\frac{(\Delta x-\Delta y)^2\sin\frac{1}{\Delta x-\Delta y}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y2}}\right|\leq\frac{t2}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\leq\frac{4(\Delta x^2+\Delta y^2)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=4\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}
$$
当$(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$时，$4\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to0$，根据夹逼准则，上述极限为0，满足可微的定义，所以$f$在$(0,0)$处可微，该选项正确。
综上，正确的选项是(1)和(4)。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者math student
