嗨，很高兴你对这类三角函数组合的最大值问题感兴趣！先快速回应你最初提出的具体问题，再重点拆解你好奇的通用形式求解思路：

一、先解决你给出的具体问题 #

对于$x \in (0, \pi)$，求$\sin(x)+ 2\sin(2x) -\sin(3x)$的最大值？

你提到的求导法完全可行，不过先化简原式能让计算更顺畅：
利用三角恒等式$\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x$、$\sin2x=2\sin x\cos x$，代入后化简可得：
$$
\begin{align*}
\sin x + 2\sin2x - \sin3x &= 2\sin x(1 + 2\cos x - 2\cos^2x)
\end{align*}
$$
令$t=\cos x$（$t\in(-1,1)$），原式转化为$f(t)=2\sqrt{1-t^2}(1+2t-2t2)$，之后你可以对$f(t)$求导找极值点，或者直接对原函数求导$f'(x)=\cos x +4\cos2x -3\cos3x$，令导数为0，在$(0,\pi)$范围内解出临界点后，代入原函数比较得到最大值，这个思路是完全正确的。

二、重点：$A\sin(\alpha x)+B\sin(\beta x)$的最大值求解 #

遗憾的是，这个形式没有像$A\sin x+B\cos x$那样通用的闭区间公式，它的最大值取决于$\alpha$和$\beta$的比例关系，分两种核心情况讨论：

1. 当$\alpha$与$\beta$可公度（即$\frac{\alpha}{\beta}$为有理数）

此时函数$f(x)=A\sin(\alpha x)+B\sin(\beta x)$是周期函数，最大值存在，常用求解方法有：

• 代数替换法：若$\beta = k\alpha$（$k$为有理数），可利用三角恒等式将$\sin(\beta x)$展开为关于$\sin(\alpha x)$和$\cos(\alpha x)$的多项式，再令$t=\sin(\alpha x)$（或$t=\cos(\alpha x)$），转化为代数函数求最大值；
• 求导法：计算导数$f'(x)=A\alpha\cos(\alpha x)+B\beta\cos(\beta x)$，令$f'(x)=0$，结合函数的周期性，在一个周期内解出所有临界点，代入原函数比较得到最大值；
• 辅助角扩展法：对于特殊的比例（比如$\beta=2\alpha$），可以结合二倍角公式转化后使用辅助角公式简化。

2. 当$\alpha$与$\beta$不可公度（即$\frac{\alpha}{\beta}$为无理数）

此时函数是准周期函数，它的上确界是$|A|+|B|$，下确界是$-(|A|+|B|)$，但永远无法达到这两个值——因为$\sin(\alpha x)$和$\sin(\beta x)$无法同时取到$\pm1$（否则$\alpha x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$\beta x=\frac{\pi}{2}+2m\pi$，推导可得$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{2k+1}{2m+1}$，是有理数，与前提矛盾）。也就是说，对于任意小的$\epsilon>0$，总能找到$x$使得$f(x) > |A|+|B|-\epsilon$，但不存在$x$让$f(x)=|A|+|B|$，所以这种情况下函数没有严格意义上的最大值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ᾱδi