嘿，我来帮你理清楚这两个概率表达式的关联和指示函数的作用哈！

首先我们先明确两个表达式里的核心内容：

先拆解式(1) #

式(1)是三个事件同时发生的联合概率：
$$A = \mathbb{P}[X\geq \tau_s, D\leq \frac{c}{2}(T_c-\frac{cT_c}{2B_s}), Y\geq \tau_c]$$
这里的三个事件分别是：

• 随机变量$X$大于等于阈值$\tau_s$
• 常数$D$满足不等式$D\leq \frac{c}{2}(T_c-\frac{cT_c}{2B_s})$（我们把这个事件记作$E$，方便后续表述）
• 随机变量$Y$大于等于阈值$\tau_c$

再看指示函数在式(2)里的作用 #

式(2)里的$\mathbb{1}(.)$是指示函数，它的规则很简单：括号里的事件成立时取值为1，不成立时取值为0。我们先看式(2)里的第一个概率项：
$$\mathbb{P}[X \times \mathbb{1}(D\leq \frac{c}{2}(T_c-\frac{cT_c}{2B_s})) \geq \tau_s]$$
把这个概率拆开来理解：

• 当事件$E$（也就是$D\leq \frac{c}{2}(T_c-\frac{cT_c}{2B_s})$）成立时，$\mathbb{1}(E)=1$，此时条件就变成$X \times 1 \geq \tau_s$，也就是$X\geq \tau_s$——这和式(1)里的第一个事件完全一致；
• 当事件$E$不成立时，$\mathbb{1}(E)=0$，此时条件变成$X \times 0 \geq \tau_s$，也就是$0\geq \tau_s$。如果$\tau_s$是一个正数（这是概率阈值的常见情况），这个事件是不可能发生的，对应的概率为0。

所以综合起来，这个概率项其实就等价于事件$E$和$X\geq \tau_s$同时发生的概率，也就是：
$$\mathbb{P}[X \times \mathbb{1}(E) \geq \tau_s] = \mathbb{P}[X\geq \tau_s, E]$$

式(2)从式(1)推导的前提 #

式(2)能从式(1)推导出来，核心需要一个独立性前提：随机变量$Y$与$(X,D)$是相互独立的。

在概率论里，如果两个事件组相互独立，那么它们的联合概率可以拆成各自概率的乘积。所以式(1)的联合概率就可以拆成：
$$\mathbb{P}[X\geq \tau_s, E] \times \mathbb{P}[Y\geq \tau_c]$$
再把前面的$\mathbb{P}[X\geq \tau_s, E]$用指示函数的形式替换，就得到了式(2)：
$$B = \mathbb{P}[X \times \mathbb{1}(D\leq \frac{c}{2}(T_c-\frac{cT_c}{2B_s})) \geq \tau_s] \times \mathbb{P}[Y\geq \tau_c]$$

总结一下 #

• 指示函数的作用：把“$D$满足某个条件”这个事件，和$X$的阈值条件合并成一个关于$X \times \mathbb{1}(E)$的不等式，本质是用数学形式同时表达“$D$符合要求”且“$X$达标”这两个条件；
• 两式的推导关系：在$Y$与$(X,D)$独立的前提下，式(1)的联合概率可以拆分为两个独立概率的乘积，再用指示函数改写其中一项就得到了式(2)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heretolearn