嗨，完全理解你现在被一堆二次方程绕晕的感觉——靠硬套勾股定理确实容易钻进死胡同，尤其是在对垂心相关定理不太熟悉的情况下。咱们来梳理下更清晰的思路，说不定能帮你跳出方程的混乱：

首先先统一下符号（避免歧义）：

• 假设你说的$u, v, w$分别是对应边长$a, b, c$边上的高，用Heron公式推导出来的$u=\frac{2A}{a}$、$v=\frac{2A}{b}$、$w=\frac{2A}{c}$完全正确，这一步没问题。
• 你提到的$a_1, a_2, b_1, b_2$应该是垂足把对应边分成的两段吧？比如BC边被A点的垂足分成$BD=a_1$、$DC=a_2$，其实这里不用勾股定理硬算，用余弦定理推导的分边公式更直接：
  • $a_1 = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2a}$
  • $a_2 = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}$
    这个公式能直接跳过二次方程，一步得到分边的长度，比勾股定理高效得多。

接下来是垂心相关的线段（比如你说的$v_1, v_2$），分两种常见情况给你思路：

• 如果是垂心到顶点的距离：比如设垂心为H，那么有现成的推导公式：$AH = \frac{2A \cos A}{a}$，而$\cos A$可以用余弦定理转化为$a,b,c$的表达式：$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$，代入后就能把AH完全用三边长度表示，不用解方程组。
• 如果是垂心到垂足的距离：比如H到BC边垂足D的距离HD，你可以用高的长度减去AH在竖直方向的投影，或者更简单的，用外接圆半径R来推导：$HD = 2R \cos B \cos C$，而$R = \frac{abc}{4A}$，代入后也能转化为$a,b,c$的表达式。

另外给你一个傻瓜式但有效的方法：坐标法，把三角形放进坐标系里，用代数计算代替几何推导，思路绝对清晰：

• 比如把B点放在$(0,0)$，C点放在$(a,0)$，A点放在$(d, u)$（u就是BC边的高，已经知道$u=\frac{2A}{a}$）；
• 先写出两条高的方程：BC边的高是过A的竖直线$x=d$；AC边的高过B点，斜率为$\frac{a - d}{u}$，方程是$y = \frac{a - d}{u}x$；
• 联立两条高的方程，就能算出垂心H的坐标$(d, \frac{d(a - d)}{u})$；
• 之后不管你要算什么线段（比如AH、BH、HD），直接用坐标距离公式计算，再结合$b=AB=\sqrt{d^2 + u^2}$、$c=AC=\sqrt{(d - a)^2 + u^2}$这些关系，把变量逐步替换成$a,b,c$，就能得到最终的表达式，全程逻辑线性，不容易绕错。

最后一个小建议：如果还是觉得一般三角形太复杂，可以先从特殊三角形（比如直角三角形、等腰三角形）入手推导公式，先搞懂简单情况的规律，再推广到一般三角形，这样不仅容易验证结果，还能帮你快速找到推导的突破口。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kirismasdada