我最近在研究一个由实协方差矩阵$\Sigma_0,\Sigma_1,\dots,\Sigma_K$定义的矩阵集合：
$$\bigcap_{k=1}^K \left{x: 0 \preceq x \preceq \Sigma_0, \ x\not\prec\Sigma_k\right}.$$
我想要得到这个集合或者它的凸包的具体描述，但从定义出发一直没梳理清楚，有没有人能给点思路？

换个更直白的说法，这个集合里的任意矩阵$x$满足以下性质：

• $x$是半正定矩阵
• $\Sigma_0 - x$是半正定矩阵
• 对于$k=1,\dots,K$，$\Sigma_k - x$不是正定矩阵

我自己先琢磨了一阵，从维度$D$的情况开始分析，分享点初步思路：

记$(v_{k,d}, \sigma_{k,d}^2) \in \mathbb{R}^D \times \mathbb{R}+$为$\Sigma_k$的特征对，也就是$\Sigma_k v{k,d} = \sigma_{k,d}^2 v_{k,d}$，其中$d=1,\dots,D$，特征值按降序排列$\sigma_{k,1}^2 \geq \sigma_{k,2}^2 \geq \dots \geq \sigma_{k,D}^2$。

首先，条件$0 \preceq x \preceq \Sigma_0$其实定义了一个谱锥——也就是所有满足特征值$\lambda_1(x) \geq \lambda_2(x) \geq \dots \geq \lambda_D(x) \geq 0$，且$\lambda_d(x) \leq \sigma_{0,d}^2$对所有$d$成立的半正定矩阵$x$的集合，这个是凸集，这点很关键。

接下来看约束$\Sigma_k - x \not\prec 0$，它等价于：存在某个非零向量$v \in \mathbb{R}^{D$，使得$v}T(\Sigma_k - x)v \leq 0$，也就是$v^T x v \geq v^T \Sigma_k v$。换句话说，$x$在由向量$v$定义的“方向”上的二次型值至少要等于$\Sigma_k$在该方向上的值。

这么拆解开看，原集合其实是谱锥${x \mid 0 \preceq x \preceq \Sigma_0}$去掉所有满足$\Sigma_k - x \succ 0$的子集后的交集。而${x \mid \Sigma_k - x \succ 0}$是谱锥里的一个开凸子集（因为正定锥是开集，仿射变换下凸性和开性都能保持）。

现在来聊凸包的问题：原集合是凸集（谱锥）去掉若干开凸子集后的交集，它本身大概率不是凸集，我举个2维的例子验证下：假设$D=2$，$\Sigma_0$是单位矩阵$I$，$K=1$，$\Sigma_1$是对角矩阵$\text{diag}(a,b)$，其中$0 < a,b < 1$。原集合里的点$x_1 = \text{diag}(a,0)$和$x_2 = \text{diag}(0,b)$都满足条件，但它们的凸组合$\text{diag}(ta, (1-t)b)$（$t \in (0,1)$）会让$\Sigma_1 - x = \text{diag}(a(1-t), bt)$，这个矩阵是正定的，所以这个凸组合不在原集合里，这就说明原集合不是凸集。

那凸包会是什么样的？我猜想原集合的凸包的闭包可能就是原来的谱锥${0 \preceq x \preceq \Sigma_0}$，理由是谱锥里的任意点都能被原集合里的点的凸组合逼近：比如取一个在被去掉的开集里的点$x_0$（即$\Sigma_1 -x_0 \succ 0$），我们可以构造一列点$x_n = x_0 + \epsilon_n v v^T$，其中$\epsilon_n > 0$，$v$选$\Sigma_1 -x_0$的某个特征向量，只要$\epsilon_n$选得足够小，就能保证$x_n \preceq I$，同时$\Sigma_1 -x_n$会存在某个向量使得二次型值非正，也就是$x_n$在原集合里，而$x_n$会趋近于$x_0$，这样$x_0$就落在凸包的闭包里。

如果这个猜想成立，那凸包的闭包就是整个谱锥，但具体凸包是不是等于谱锥的闭包（也就是谱锥本身，因为谱锥是闭集），还需要更严谨的证明。

再看原集合的具体描述，或许可以这么刻画：所有满足$0 \preceq x \preceq \Sigma_0$，且对每个$k=1,\dots,K$，都存在至少一个非零向量$v_k$，使得$v_k^T x v_k \geq v_k^T \Sigma_k v_k$的半正定矩阵$x$。

我目前就想到这些，有没有大佬能接着往下深挖？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Christian Chapman