对于自然数$x$和$y$，用$(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数。请问有多少对满足$x\leq y$的自然数$(x,y)$，使得方程$xy = x + y + (x,y)$成立？

我是这么一步步解的：

首先，我们可以利用最大公约数的性质简化问题。设$d=(x,y)$（也就是$x$和$y$的最大公约数），那我们可以把$x$和$y$写成$x=ad$、$y=bd$的形式，这里$a$和$b$是互质的自然数（也就是$(a,b)=1$），而且因为$x\leq y$，所以$a\leq b$。

把$x=ad$、$y=bd$代入原方程，左边是$xy=ad\cdot bd=ab d^2$，右边是$x+y+d=ad+bd+d=d(a+b+1)$。两边同时除以$d$（$d$是自然数，肯定不为0），就得到：
$$ab d = a + b + 1$$

接下来我们把这个式子变形，整理成关于$a$的表达式：
$$a(bd - 1) = b + 1 \implies a=\frac{b+1}{bd - 1}$$
因为$a$是自然数，所以$bd-1$必须能整除$b+1$，而且$a\geq1$、$a\leq b$。我们从这个整除条件入手，分析$b$和$d$的可能取值：

情况1：$d=1$ #

代入$ab d =a+b+1$，得到$ab =a+b+1$，再变形一下：
$$ab -a -b=1 \implies (a-1)(b-1)=2$$
因为$a\leq b$，且$a$、$b$是自然数，所以$(a-1)$和$(b-1)$都是非负整数，它们的乘积是2。2的正整数因子对只有$(1,2)$（$(2,1)$会导致$a>b$，不符合$a\leq b$），对应$a=2$、$b=3$。这时候$x=2\times1=2$，$y=3\times1=3$，是一组有效解。

情况2：$d=2$ #

这时候$bd-1=2b-1$，要整除$b+1$，且除数不能比被除数大（否则商小于1，不是自然数），所以$2b-1\leq b+1$，解得$b\leq2$。

• 当$b=1$时，$a=\frac{1+1}{2\times1-1}=2$，但$a=2>b=1$，不符合$a\leq b$，舍去；
• 当$b=2$时，因为$(a,2)=1$且$a\leq2$，所以$a=1$，代入$ab d=1\times2\times2=4$，右边$1+2+1=4$，等式成立。对应$x=1\times2=2$，$y=2\times2=4$，是第二组有效解。

情况3：$d=3$ #

同理，$bd-1=3b-1\leq b+1$，解得$b\leq1$，所以$b=1$。因为$(a,1)=1$且$a\leq1$，所以$a=1$，代入$ab d=1\times1\times3=3$，右边$1+1+1=3$，等式成立。对应$x=1\times3=3$，$y=1\times3=3$，是第三组有效解。

情况4：$d\geq4$ #

此时$bd-1\geq1\times4-1=3$，而$b+1\leq2b$（因为$b\geq1$），但$bd-1=4b-1>2b$（当$b\geq1$时，$4b-1-2b=2b-1\geq1>0$），所以$\frac{b+1}{bd-1}<1$，不可能是自然数，因此没有解。

我们还可以代入具体$x$值验证有没有遗漏：

• $x=1$时，代入方程得$y=1+y+(1,y)$，化简后$0=2$，显然不成立；
• $x\geq4$时，$xy\geq4y$，而$x+y+(x,y)\leq3y$，$4y\leq3y$不可能成立，所以没有解。

综上，满足条件的自然数对共有3组：$(2,3)$、$(2,4)$、$(3,3)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aashita