我现在需要求解关于$x$和$y$的模10同余方程组：
$$x+2y\equiv 3 \pmod {10}$$
$$3x+y\equiv 2 \pmod {10}$$
之前我用矩阵和行变换解过模9的同类方程组，但模10的情况我好像找不到解。是不是应该先判断这类同余方程组是否有解？

比如我尝试拆分第一个方程：$x+2y\equiv 3\pmod {10}$，拆成$x\equiv 3\pmod {2}$和$2y\equiv 3\pmod {1}$。（模1的同余式是不是没有意义？）对于单个线性同余式$ax\equiv b\pmod {m}$，解存在的条件是$\gcd(a, m)|b$，这两个式子的gcd都是1，应该有解，但方程组却找不到解，这是为什么？

首先得纠正你一个小误区：模1的同余式确实没有实际意义，因为任何整数模1的结果都是0，所以所有整数都满足$2y\equiv3\pmod1$，这个式子对求解没有任何帮助。拆分模10的方程组时，应该用中国剩余定理的思路，把模10拆成模2和模5两个互质的模数，分别求解子方程组后再合并，这才是正确的拆分方式。

接下来给你讲清楚二元模线性方程组解的存在性判断方法，你可以把它当成线性代数在模运算里的延伸：
对于一般形式的二元线性同余方程组：
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y \equiv c_1 \pmod m \
a_2x + b_2y \equiv c_2 \pmod m
\end{cases}
$$
我们可以计算系数矩阵的行列式 $D = a_1b_2 - a_2b_1$，然后根据以下规则判断：

• 如果 $\gcd(D, m) = 1$，那么方程组在模$m$下有唯一解；
• 如果 $\gcd(D, m)$ 能同时整除 $c_1b_2 - c_2b_1$ 和 $a_1c_2 - a_2c_1$，那么方程组有解，解的个数为 $\gcd(D, m)$ 个；
• 否则，方程组无解。

现在回到你的模10方程组，我们来一步步验证：

1. 计算行列式：$D = 1×1 - 3×2 = 1 - 6 = -5$，$\gcd(-5, 10) = 5$；
2. 计算两个关键值：
   • $c_1b_2 - c_2b_1 = 3×1 - 2×2 = 3 - 4 = -1$，5无法整除-1；
     这就直接说明原方程组没有解，这就是你找不到解的核心原因！

你也可以用消元法直观验证：把第二个方程乘以2得到 $6x + 2y \equiv 4 \pmod{10}$，减去第一个方程 $(x+2y\equiv3\pmod{10})$，得到 $5x \equiv 1 \pmod{10}$。现在看这个单方程，$\gcd(5,10)=5$，而5不能整除1，显然这个方程无解，原方程组自然也无解。

再用中国剩余定理拆分验证一遍：

• 模2子方程组：
  $$
  \begin{cases}
  x + 0y \equiv 1 \pmod2 \
  x + y \equiv 0 \pmod2
  \end{cases}
  $$
  代入第一个方程的$x\equiv1\pmod2$到第二个方程，得到$1+y\equiv0\pmod2$，即$y\equiv1\pmod2$，模2下有解；
• 模5子方程组：
  $$
  \begin{cases}
  x + 2y \equiv 3 \pmod5 \
  3x + y \equiv 2 \pmod5
  \end{cases}
  $$
  把第二个方程乘以2得到$6x + 2y \equiv 4 \pmod5$，简化为$x + 2y \equiv 4 \pmod5$，这和第一个方程$x+2y\equiv3\pmod5$矛盾，所以模5下无解。

根据中国剩余定理，只有当所有互质模数的子方程组都有解时，原方程组才有解，这里模5下无解，所以原模10方程组必然无解。

总结一下：判断模线性方程组的解是否存在，要么用行列式结合整除条件快速判断，要么用中国剩余定理拆成互质模数的子方程组逐一验证，两种方法都能帮你快速定位问题~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者k endres