我最近碰到了一个关于扇形内切序列圆的几何问题，需要推导第n个圆的半径通用表达式。目前我已经算出了前几个圆的半径，但不知道怎么把这个推导逻辑推广到任意第n个圆上，想请教一下大家的思路！

问题描述 #

在下图的扇形中，计算第n个圆的半径。（已知答案：$\boldsymbol{\frac{R}{n^2+2}}$）

我已完成的推导步骤 #

我先从第一个和第二个圆入手，推导过程如下：

• 第一个圆的半径$r_1$：
  $$\left(\frac{R}{2}+r_1\right)^{2=\left(\frac{R}{2}\right)}2+(R-r_1)^2 \implies Rr_1=R^2-2Rr_1 \therefore r_1=\frac{R}{3}$$
• 第二个圆的半径$r_2$：
  $$\left(\frac{R}{2}+r_1\right)^{2=\left(\frac{R}{2}+r_2\right)}2+(r_1+r_2)^2 \implies Rr_1=Rr_2+2r_2^2 +2r_1r_2$$
  把$r_1=\frac{R}{3}$代入后化简：
  $$\frac{R^{2}{3}=Rr_2+2r_2}2+\frac{2Rr_2}{3} \implies R^2=5Rr_2+6r_22$$
  解这个二次方程，舍去负根后得到$R=6r_2$，因此$r_2=\frac{R}{6}$

按照同样的方法，我算出了后续几个圆的半径：$\frac{R}{11},\frac{R}{18},\frac{R}{27}$，最后归纳出第n个圆的半径公式：
$$\boxed{r_n = \frac{R}{n^2+2}}$$

但我现在的困惑是：怎么严谨地把这个推导过程推广到任意第n个圆？比如用递推关系或者数学归纳法来证明这个通用表达式？希望大家能给我一些指导！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者peta arantes