嘿，咱们来一步步拆解这个关于瑕积分的黎曼和问题——首先明确核心前提：原积分∫₀¹1/x⁴dx确实是发散的，因为在x=0附近被积函数1/x⁴的增长速度远超可积范围，但这不妨碍咱们分析截断积分（从1/n到1的积分）和对应黎曼和的关系。

问题1：黎曼和∑ᵢ=1ⁿΔᵢf(xᵢ)是否收敛到∫_{1/n}^11/x⁴dx？ #

结论是：不会收敛，两者都会趋向于正无穷，但增长速度差异很大，差值会随着n增大而无限膨胀。

咱们来具体算一下：

• 等距划分下Δᵢ=1/n，xᵢ=i/n，对应的黎曼和为：
  $$\sum_{i=1}^n \Delta_i f(x_i) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(i/n)^4} = n^3 \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^4}$$
  当n→∞时，∑ᵢ=1ⁿ1/i⁴会收敛到黎曼ζ函数值ζ(4)=π⁴/90≈1.0823，所以这个黎曼和的增长阶是O(n³)，具体近似为$n^3 \cdot \frac{\pi^4}{90} + o(n^3)$。
• 而截断积分∫_{1/n}^11/x⁴dx的结果是：
  $$\int_{1/n}^1 \frac{1}{x^4}dx = \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{1/n}^1 = \frac{n^3 - 1}{3} \approx \frac{n^3}{3} + o(n^3)$$
  它的增长阶也是O(n³)，但系数是1/3≈0.3333，远小于黎曼和的系数π⁴/90≈1.0823。

两者的差值为：
$$\sum_{i=1}^n \Delta_i f(x_i) - \int_{1/n}^1 \frac{1}{x^4}dx \approx n^3 \left( \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{3} \right) + o(n^3)$$
因为$\frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{3} \approx 0.749 > 0$，所以这个差值会随着n增大趋向于正无穷，显然不会收敛到0，也就不存在“黎曼和收敛到截断积分”的情况。

问题2：求$\left| \int_{1/n}^1 \frac{1}{x^4}dx - \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k/n)^4} \cdot \frac{1}{n} \right|$的界与收敛速率 #

首先，咱们把这个差值的表达式明确下来：
$$
\left| I - S \right| = \left| \frac{n^3 - 1}{3} - n^3 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4} \right|
$$
其中$I$是截断积分，$S$是黎曼和。

利用黎曼ζ函数的余项估计，我们知道$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4} = \zeta(4) - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^{4}$，而对于余项$\sum_{k=n+1}}\infty \frac{1}{k^4}$，可以用积分来估计上下界：
$$
\int_{n+1}^\infty \frac{1}{x^4}dx \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^4} \leq \int_{n}^\infty \frac{1}{x^4}dx
$$
计算积分得$\int_{m}^\infty \frac{1}{x^4}dx = \frac{1}{3m^3}$，所以：
$$
\frac{1}{3(n+1)^3} \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^4} \leq \frac{1}{3n^3}
$$

把这个余项代入差值表达式：
$$
\left| I - S \right| = \left| n^3 \left( \frac{1}{3} - \zeta(4) \right) + n^3 \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^4} - \frac{1}{3} \right|
$$
代入$\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$，计算常数项$\frac{1}{3} - \frac{\pi^4}{90} \approx -0.749$，再结合余项的界，可以得到：
$$
n^3 \left( \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{3} \leq \left| I - S \right| \leq n^3 \left( \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{3} - \frac{n^3}{3(n+1)3}
$$

简化后可以看出，这个差值的主导增长阶是O(n³)，也就是说随着n增大，差值会以三次方的速度趋向无穷大，不存在有限的上界，也谈不上“收敛速率”（因为两者都是发散到无穷，差值也发散）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chang