设$n\times n$实矩阵$A$满足$A^3 = A$；且对任意$\alpha\in\Bbb R^{n$，有$\alpha}T A^T A\alpha \leq \alpha^T\alpha$，证明$A$是对称矩阵。

我的尝试 #

一开始想能不能证明$|(A^T - A)x| \leq 0$对任意$x$成立，但发现很难直接估计这个范数。

已经知道$A$的特征值只能是$0, \pm1$，考虑用Jordan标准形来分析？但不知道怎么结合$|Ax| \leq |x|$这个条件来推进证明。

嘿，你的思路方向完全正确，咱们结合特征值、可对角化性质和范数条件一步步拆解这个问题：

首先，从$A^3 = A$这个核心条件，我们能得到两个关键结论：

1. $A$的特征值只能是$0, 1, -1$——因为对任意特征值$\lambda$，都满足$\lambda^3 = \lambda$；
2. $A$是可对角化矩阵——$A$的极小多项式是$x(x-1)(x+1)$的因式，没有重根，根据矩阵可对角化的充要条件，$A$相似于对角矩阵$\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$，其中每个$\lambda_i \in {0,1,-1}$，也就是存在可逆矩阵$P$，使得$A = P\Lambda P^{-1}$。

接下来处理$|Ax| \leq |x|$的条件，它等价于对任意$x \in \mathbb{R}^n$，有$xT(A^T A - I)x \leq 0$，即矩阵$A^T A - I$是半负定的。

把$A = P\Lambda P^{-1}$代入范数条件：
令$y = P^{-1}x$，则$x = Py$，代入后得到$|P\Lambda y| \leq |Py|$对所有$y$成立。两边平方展开：
$$y^T \Lambda P^T P \Lambda y \leq y^T P^T P y$$
令$Q = P^T P$（这是正定矩阵，因为$P$可逆），上式可改写为：
$$y^T (Q - \Lambda Q \Lambda)y \geq 0 \quad \forall y \in \mathbb{R}^n$$

现在分析$Q - \Lambda Q \Lambda$的结构：
因为$\Lambda$是对角矩阵，我们按特征值把它分成三个对角块：$\Lambda_0$（对应特征值0）、$\Lambda_1$（对应特征值1）、$\Lambda_{-1}$（对应特征值-1），$Q$也对应分块为：
$$Q = \begin{pmatrix} Q_{00} & Q_{01} & Q_{0,-1} \ Q_{10} & Q_{11} & Q_{1,-1} \ Q_{-1,0} & Q_{-1,1} & Q_{-1,-1} \end{pmatrix}$$
计算$Q - \Lambda Q \Lambda$的元素：

• 若两个位置对应相同特征值，$\lambda_i = \lambda_j$，则$1 - \lambda_i\lambda_j = 0$，对应元素为0；
• 若$\lambda_i=0$、$\lambda_j=1$（或反之），则$1 - 0*1=1$，对应元素为$Q_{01}$；
• 若$\lambda_i=1$、$\lambda_j=-1$（或反之），则$1 - (1)(-1)=2$，对应元素为$2Q_{1,-1}$。

利用$y^T (Q - \Lambda Q \Lambda)y \geq 0$对所有$y$成立的条件：

• 取$y$仅包含$\Lambda_1$和$\Lambda_{-1}$块的两个分量，比如$y = ae_i + be_j$，代入后得到$4ab Q_{ij} \geq 0$对所有实数$a,b$成立。这只有$Q_{ij}=0$才能满足（否则取$a=1,b=-1$会得到$-4Q_{ij}\geq0$，取$a=1,b=1$得到$4Q_{ij}\geq0$，矛盾）；
• 同理，取$y$包含$\Lambda_0$和$\Lambda_1$（或$\Lambda_0$和$\Lambda_{-1}$）块的分量，代入后会得到$2ab Q_{ij}\geq0$对所有$a,b$成立，同样只有$Q_{ij}=0$。

这说明$Q = P^T P$是分块对角矩阵，和$\Lambda$可交换，即$\Lambda Q = Q \Lambda$。

最后推导$A$的对称性：
由$\Lambda Q = Q \Lambda$代入$Q = P^T P$，得到$\Lambda P^T P = P^T P \Lambda$，两边右乘$P^{-1}$得$\Lambda P^T = P^T A$，再两边左乘$(P^{-1})T$：
$$(P^{-1})T \Lambda P^T = A$$
而左边恰好是$A^T$（因为$A = P\Lambda P^{{-1}$，所以$A}T = (P^{-1})T \Lambda P^{T$），因此$A}T = A$，即$A$是对称矩阵。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xldd