嘿，我来给你把这个问题讲明白～你之前误以为$[\mathbb{R}(t):\mathbb{R}]$是1或者2，其实是没get到域扩张次数的核心定义哦。

域扩张的次数，本质是把扩张后的域看作基域上的向量空间时，这个向量空间的维数。而$\mathbb{R}(t)$是所有以实数为系数的关于$t$的有理函数，也就是两个实系数多项式的商构成的域。

关键的点在这里：你看集合${1, t, t^2, t^3, \dots}$，这些元素在$\mathbb{R}$上是线性无关的。怎么证明呢？假设存在实数$a_0, a_1, \dots, a_n$，使得$a_0 + a_1t + a_2t^2 + \dots + a_nt^n = 0$（这里的0是零多项式），根据多项式恒等的性质，所有系数$a_i$都必须是0——毕竟如果有非零系数的话，这个多项式不可能对所有$t$都等于0对吧？

这就说明，这个集合里有无穷多个线性无关的元素，而且找不到有限个元素能线性表出$\mathbb{R}(t)$里的所有元素。所以$\mathbb{R}(t)$作为$\mathbb{R}$上的向量空间，维数是无穷大，它自然就是$\mathbb{R}$的无限扩张啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jasmine