利用斯托克斯定理计算含两个不相交边界的曲面积分求助

问题详情 #

给定曲面 $S={(x,y,z)\mid x^2+y2+z^2=25,; 0≤z≤4}$，以及向量场 $\vec F(x,y,z)=(y,-z,x)$，需要利用斯托克斯定理计算曲面积分 $\iint_S(\nabla \times \vec F )\cdot \vec n ; dS$，其中 $\vec n$ 是曲面 $S$ 指向原点外侧的单位法向量。

我的思路与困惑 #

我已经搞明白这个曲面是球壳的一部分啦——就是球面介于z=0到z=4之间的区域，对应的边界是两条不相交的闭合曲线 $C_1$ 和 $C_2$：

• $C_1$：z=0处的边界圆，方程为 $x^2+y2=25$，z=0
• $C_2$：z=4处的边界圆，方程为 $x^2+y2=9$，z=4

根据斯托克斯定理，曲面积分应该等于边界曲线的线积分之和，但我现在有点懵，不知道该怎么处理这两条不相交的边界曲线，尤其是它们的方向该怎么确定才能符合斯托克斯定理的要求呀？有没有大佬能帮忙解答一下~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jason Xu