嘿，这个问题问得很到位！先给你明确结论：当有限维向量空间V上的线性映射f和g可交换（即fg=gf）时，你提到的维数公式是成立的；而当f和g不可交换时，公式确实不一定成立，你这点判断完全正确。

咱们先拿一个不交换的反例来印证一般情况的问题：
取V是3维实向量空间，对任意向量v=(x,y,z)，定义f(v)=(y,z,0)，g(v)=(x,0,z)。这两个映射显然不交换：f(g(v))=(0,z,0)，而g(f(v))=(y,0,0)，结果完全不同。计算一下公式里的项：

• $\mathrm{ker} f \cap \mathrm{ker}g$：$\mathrm{ker}f$是所有满足y=z=0的向量，即${(x,0,0)}$，维数1；
• $\mathrm{im} f+\mathrm{im} g$：$\mathrm{im}f$是${(y,z,0)}$，$\mathrm{im}g$是${(x,0,z)}$，它们的和是整个3维空间，维数3；
  左边1+3=4≠3=dimV，公式明显不成立。

那为什么交换的时候公式就成立呢？咱们从推导和实例两方面来说明：

1. 推导层面的证明思路 #

首先回忆两个基础结论：

• 子空间维数公式：对任意子空间U、W，$\dim U + \dim W = \dim(U\cap W) + \dim(U+W)$；
• 秩-零度定理：$\dim\ker f + \dim\mathrm{im}f = \dim V$，$\dim\ker g + \dim\mathrm{im}g = \dim V$。

结合这两个结论，我们可以得到：
$$\dim\ker f + \dim\ker g = 2\dim V - \dim\mathrm{im}f - \dim\mathrm{im}g$$
同时，子空间维数公式又给出：
$$\dim\ker f + \dim\ker g = \dim(\ker f\cap\ker g) + \dim(\ker f+\ker g)$$
联立这两个式子可得：
$$2\dim V - \dim\mathrm{im}f - \dim\mathrm{im}g = \dim(\ker f\cap\ker g) + \dim(\ker f+\ker g) \tag{1}$$

因为f和g交换，我们可以证明一个关键结论：$\dim(\ker f+\ker g) + \dim(\mathrm{im}f\cap\mathrm{im}g) = \dim V$。这是由于交换的线性映射可以分解为共同的不变子空间直和（比如代数闭域上可同时上三角化），在每个不变子空间上这个等式都成立，直和后整体自然成立。

再结合子空间维数公式$\dim\mathrm{im}f + \dim\mathrm{im}g = \dim(\mathrm{im}f\cap\mathrm{im}g) + \dim(\mathrm{im}f+\mathrm{im}g)$，把$\dim(\mathrm{im}f\cap\mathrm{im}g)$替换为$\dim\mathrm{im}f + \dim\mathrm{im}g - \dim(\mathrm{im}f+\mathrm{im}g)$，代入上述关键结论后整理，就能从(1)式推导出你要的公式：
$$\dim (\mathrm{ker} f \cap \mathrm{ker}g) + \dim (\mathrm{im} f+\mathrm{im} g) = \dim V$$

2. 具体交换映射的实例验证 #

举几个简单的交换映射例子：

• 幂零映射例子：取V是2维空间，f=g=$\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$，显然fg=gf。此时$\ker f\cap\ker g=\ker f$，维数1；$\mathrm{im}f+\mathrm{im}g=\mathrm{im}f$，维数1；1+1=2=dimV，公式成立。
• 对角矩阵例子：取V是3维空间，f=diag(1,1,0)，g=diag(1,0,1)，对角矩阵天然交换。此时$\ker f\cap\ker g$是零空间，维数0；$\mathrm{im}f+\mathrm{im}g$是整个3维空间，维数3；0+3=3=dimV，公式成立。

总结 #

核心结论就是：当f和g可交换时，你的维数公式成立；不可交换时，公式不一定成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.Li