群环上的投射模与迹映射：完全赋值域伽罗瓦扩张中B的A[G]投射模等价条件证明问询

我现在在研究完全赋值域的有限扩张$L/K$，对应的环扩张是$B/A$，且$L/K$是伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为$G$。我想要证明的结论是：$B$作为$A[G]$模是投射模当且仅当$L/K$是驯分歧扩张。

为此我得到的提示是考虑迹映射$\operatorname{Tr}{L/K}$，我知道对于驯分歧扩张而言，这个迹映射作为$B\to A$的映射是满射的，但我实在摸不清这一点怎么能帮我推导$B$作为$A[G]$模的结构。我本来尝试把这个条件转化为关于“和元素”$\sum{\sigma\in G}\sigma$（也就是群环里的范数元素）的相关性质，但思考到这里就卡住了，不知道接下来该怎么推进。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Little Narwhal