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关于群同态下$f^{-1}(f(U)) \subset U\ker f$的证明疑问

关于群同态下$f^{-1}(f(U)) \subset U\ker f$的证明疑问

问题背景

设$f: G \to H$是群$G$到群$H$的同态映射,$U$是$G$的子群,我需要证明$f^{-1}(f(U)) \subset U\ker f$。

我的思考与疑问

我目前尝试的思路是这样的:

  • 取元素$x \in U \ker f$,那么自然有$f(x) \in f(U \ker f)$。
  • 因为$f$是群同态,所以$f(x) = f(x \cdot 1_G) = f(x)f(1_G) = f(x) \cdot 1_H$,不过这里我好像有点混乱,还错误地认为$f(x) \cdot 1_H \in U\ker f$(其实这是$H$里的元素,和$G$的子集没关系)。
  • 然后我得到$f^{-1}(f(x)f(1_G)) \in f^{-1}f(U \ker f)$,但这里我卡住了:我们并不知道$f$是单射,那为什么会觉得$f^{-1}f(U \ker f) = U \ker f$呢?而且现在想想,我的证明方向是不是搞反了?应该从$f^{-1}(f(U))$里取元素来推导它属于$U\ker f$才对?

备注:内容来源于stack exchange,提问作者user33

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