咱们先从基础定义开始梳理哈：
设$X$是一个不可约代数簇。回忆一下，卡蒂耶除子群定义为$H^0(X,\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times)$，其中$\mathcal M_X^{\times$表示$X$上非零有理函数构成的乘法层；而$X$的**皮卡群**则是$H}1(X,\mathcal O_X^\times)$。

接下来考虑这个短正合序列：
$$
0\to\mathcal O_X^\times\to \mathcal M_X^\times\to \mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times\to 0
$$

由它诱导的上同调长正合序列为：
$$
H^0(X,\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times) \to Pic(X) \to H^1(\mathcal M_X^\times)\to H^1(\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times).
$$

关于映射$H^0(X,\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times) \to Pic(X)$的后续内容原文有所截断，咱们先把已有的核心内容整理到这里啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fgh