嘿，我来一步步拆解这个橙色球冠的体积计算，分别用柱面坐标和球面坐标的三重积分来做，保证两种方法结果一致~

先明确问题背景：我们有一个球心在原点$(0,0,0)$、半径为2的上半球，方程为 $z=\sqrt{4-x^2-y2}$，这个半球被平面 $z=\sqrt{2}$ 截取后，就形成了图中的橙色球冠，接下来用两种坐标系统的三重积分计算它的体积。

一、柱面坐标下的计算 #

柱面坐标的转换规则是 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，对应的体积元为 $dV=rdzdrd\theta$。

先确定各变量的积分范围：

• $\theta$：因为球冠绕z轴对称，$\theta$覆盖整个圆周，范围是$0$到$2\pi$；
• $r$：平面$z=\sqrt{2}$与球面的交线是一个圆，联立方程$\sqrt{2}=\sqrt{4-r^2}$，解得$r=\sqrt{2}$，所以$r$的范围是$0$到$\sqrt{2}$；
• $z$：球冠内的点z值从平面$z=\sqrt{2}$到球面$z=\sqrt{4-r^{2}$，下限为$\sqrt{2}$，上限为$\sqrt{4-r}2}$。

对应的三重积分表达式为：
$$\int\limits_{0}^{{2\pi}\int\limits_{0}}{\sqrt{2}}\int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{4-r2}}rdzdrd\theta$$

计算过程：

1. 先对$z$积分：$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{4-r2}}rdz = r\left(\sqrt{4-r^2}-\sqrt{2}\right)$
2. 再对$r$积分：$\int_{0}^{{\sqrt{2}}r\left(\sqrt{4-r}2}-\sqrt{2}\right)dr = \int_{0}^{{\sqrt{2}}r\sqrt{4-r}2}dr - \sqrt{2}\int_{0}^{\sqrt{2}}rdr$
   • 第一个积分换元，令$u=4-r^2$，$du=-2rdr$，结果为$\frac{1}{3}(8-2\sqrt{2})$
   • 第二个积分结果为$\sqrt{2}$
   • 两者相减得：$\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}=\frac{8}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{3}$
3. 最后对$\theta$积分：$\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi$

最终体积结果：
$$\left(\dfrac{16}{3}-\dfrac{10}{3}\sqrt{2}\right)\pi$$

二、球面坐标下的计算 #

球面坐标的转换规则是 $x=\rho\sin\phi\cos\theta$，$y=\rho\sin\phi\sin\theta$，$z=\rho\cos\phi$，对应的体积元为 $dV=\rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$。

这里要注意积分限的确定，容易踩坑：

• $\theta$：同样因对称性，范围是$0$到$2\pi$；
• $\phi$：平面$z=\sqrt{2}$对应的球面角度，当$\rho=2$时，$\cos\phi=\frac{z}{\rho}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\phi=\frac{\pi}{4}$，球冠内的点$\phi$从$0$到$\frac{\pi}{4}$；
• $\rho$：球冠内的点满足$z\geq\sqrt{2}$，即$\rho\cos\phi\geq\sqrt{2}$，所以$\rho\geq\frac{\sqrt{2}}{\cos\phi}$，上限为球面半径2，因此$\rho$的范围是$\frac{\sqrt{2}}{\cos\phi}$到$2$。

正确的三重积分表达式为：
$$\int\limits_{0}^{{2\pi}\int\limits_{0}}{\frac{\pi}{4}}\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}{\cos\phi}}^{2}\rho2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$$

计算过程：

1. 先对$\rho$积分：$\int_{\frac{\sqrt{2}}{\cos\phi}}^{2}\rho2d\rho=\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3\cos^3\phi}$
2. 再对$\phi$积分：$\int_{0}^{{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3\cos}3\phi}\right)\sin\phi d\phi$
   • 拆分计算：$\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin\phi d\phi - \frac{2\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin\phi}{\cos}3\phi}d\phi$
   • 第一个积分结果：$\frac{8}{3}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{8}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3}$
   • 第二个积分换元，令$u=\cos\phi$，$du=-\sin\phi d\phi$，结果为$\frac{\sqrt{2}}{3}$
   • 两者相减得：$\frac{8}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{3}$
3. 最后对$\theta$积分：$\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi$

最终体积和柱面坐标结果一致：
$$\left(\dfrac{16}{3}-\dfrac{10}{3}\sqrt{2}\right)\pi$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ongky Denny Wijaya