嘿，我来帮你把这两个绕人的概念掰明白，你提到的第一基本形式和内蕴性质确实是微分几何里容易卡壳的点，咱们一步步拆解：

一、先搞懂第一基本形式的定义 #

你说的参数化$φ(u,v)$，其实就是把uv平面上的点“贴”到三维空间$\mathbb{R}^{3$里，形成咱们看到的曲面。曲面上任意一点的**切空间**，是由两个偏导向量$φ_u$（对u求偏导）和$φ_v$（对v求偏导）张成的——这两个向量本身是$\mathbb{R}}3$里的向量，所以它们的点积用的就是$\mathbb{R}^3$里的标准点积。

所谓的四个排列，其实最终就是三个核心系数：

• $E = φ_u \cdot φ_u$（$φ_u$自身的点积）
• $F = φ_u \cdot φ_v$（两个切向量的点积，和$φ_v \cdot φ_u$是一样的）
• $G = φ_v \cdot φ_v$（$φ_v$自身的点积）

第一基本形式就是用这三个系数构建的二次型：
$$I(du,dv) = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$$
它的作用很实在：比如你在曲面上画一条曲线，用第一基本形式就能算出曲线的长度；或者测两个切向量之间的夹角，甚至算曲面区域的面积——这些都是曲面自身的度量属性。

二、为什么依赖$E,F,G$的量是内蕴的？ #

首先得明确：内蕴性质就是不需要跳出曲面就能测量/计算的性质——想象你站在曲面（比如地球表面）上，手里只有曲面上的尺子和量角器，不用飞到太空看地球是圆的，就能测出这些量。

• 克里斯托费尔（Christoffel）符号的计算，只用到$E,F,G$以及它们对u、v的偏导数，完全不需要涉及曲面在$\mathbb{R}^3$里的法向量或者嵌入方式。它本质是描述曲面局部“联络”的工具——比如曲面上的向量怎么平行移动，只和曲面自身的度量有关。
• 高斯绝妙定理（Theorema Egregium）是关键：它直接证明了高斯曲率完全由第一基本形式决定，也就是内蕴的。举个直观的例子：把一张平面纸卷成圆柱面，纸没有被拉伸或压缩，所以平面和圆柱面的$E,F,G$完全一样，它们的高斯曲率也都是0——哪怕圆柱面在$\mathbb{R}^3$里看起来是“弯的”，但从曲面内部的视角看，它和平面是完全“平坦”的，这就是内蕴的意思。

说白了，内蕴性质是曲面的“本质属性”，不管你把它怎么嵌入到更高维的空间里，只要不拉伸、不压缩曲面（也就是保持第一基本形式不变），这些性质就不会变。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1339911