咱们来求解下面这个二元正实数方程组：
$$
\begin{cases}
(17 y^2 - 13 x^2) (y-x) = 55\
3 y^2 - x^2 = 11
\end{cases}
$$

第一步：分析解的存在范围与数量 #

首先从第二个方程入手，因为$x$是正实数，所以$x^2 = 3y^2 - 11 \geq 0$，由此可得$y \ge \sqrt{\frac{11}{3}}$，这就确定了$y$的取值下限。

接下来我们做个变量替换，令$a = x - y$，把两个方程都转化为关于$y$和$a$的表达式：

• 从第二个方程解出$x = \sqrt{3y^2 - 11}$（取正实数根），代入$a$的定义可得：
  $$a = \sqrt{3y^2 - 11} - y$$
• 再处理第一个方程：先把$x^2 = 3y^2 - 11$代入$17y^2 - 13x^2$，计算得：
  $$17y^2 -13(3y^2 -11) = 17y^2 -39y^2 +143 = -22y^2 +143 = 11(13 - 2y^2)$$
  而第一个方程里的$(y - x) = -a$，代入后整理可得：
  $$11(13 - 2y^2)(-a) = 55$$
  两边除以11并整理，得到：
  $$a = \frac{5}{2y^2 - 13}$$

现在我们有了$a$的两个表达式，接下来分析它们的单调性：

• 第一个表达式对应的函数，在$y \ge \sqrt{\frac{11}{3}}$的范围内是单调递增的；
• 第二个表达式对应的函数，因为分母$2y^2 -13$在$y = \sqrt{\frac{13}{2}}$时为0，所以分为两个分支，且每个分支在各自定义域内都是单调递减的。

从单调性可以推断，两个函数最多有2个交点，也就是方程组最多有2个正实数解。

第二步：验证得到具体解 #

通过代入验证或者图形分析，我们可以找到这两个正实数解：

• 第一个解：$(x, y) = (1, 2)$
  代入验证：第二个方程$32^2 -1^2 = 12 -1 =11$，符合；第一个方程$(174 -13*1)(2-1) = (68-13)*1=55$，符合。
• 第二个解：$(x, y) = (4, 3)$
  代入验证：第二个方程$33^2 -4^2 =27-16=11$，符合；第一个方程$(179 -1316)(3-4)=(153-208)(-1)=(-55)*(-1)=55$，符合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andreas