我们先聚焦这个待分析的积分：
$$\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3 \pi }{2}} \tan (x) , dx$$

对应的函数在积分区间内的图像如下：

嘿，我来逐个解答你的问题，帮你理清这个积分的各种情况：

问题i：这个积分在黎曼积分意义下是否发散？ #

完全正确！黎曼积分对被积函数的有界性（或瑕积分的收敛性）有严格要求。这里$\tan(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$和$x=\frac{3\pi}{2}$处都趋向于无穷大，我们拆分区间验证：

• 计算$[\frac{\pi}{2}, \pi]$段的瑕积分：$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\frac{\pi}{2}+\epsilon}^{\pi} \tan(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|\cos(x)|]{\frac{\pi}{2}+\epsilon}^{\pi} = \lim{\epsilon \to 0^+} \ln(\sin\epsilon) = -\infty$
• 计算$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$段的瑕积分：$\lim_{\delta \to 0^+} \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}-\delta} \tan(x)dx = \lim_{\delta \to 0^+} [-\ln|\cos(x)|]{\pi}^{\frac{3\pi}{2}-\delta} = \lim{\delta \to 0^+} -\ln(\sin\delta) = +\infty$

两个瑕点附近的积分都趋向于无穷，因此这个积分在黎曼意义下确实发散。

问题ii：柯西主值是否不存在？因为区间内没有奇点？ #

这里你有个小误解哦～柯西主值并非只针对区间内部的奇点，对于端点处的奇点，只要我们对称地趋近两个端点，依然可以定义主值。

具体到这个积分，我们取$\epsilon \to 0^+$，计算对称区间的积分：
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\frac{\pi}{2}+\epsilon}^{\frac{3\pi}{2}-\epsilon} \tan(x)dx$$

代入原函数计算：
$$[-\ln|\cos(x)|]_{\frac{\pi}{2}+\epsilon}^{\frac{3\pi}{2}-\epsilon} = -\ln|\cos(\frac{3\pi}{2}-\epsilon)| + \ln|\cos(\frac{\pi}{2}+\epsilon)| = -\ln(\sin\epsilon) + \ln(\sin\epsilon) = 0$$

这个极限是存在且等于0的，所以柯西主值是存在的，值为0。

问题iii：这个积分在其他积分意义下（比如勒贝格积分）或者正则化方法（比如阿达马正则化）中是否为0？ #

我们分情况来看：

• 勒贝格积分：勒贝格积分要求被积函数的绝对值可积。而$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\tan(x)| dx$是发散的（两段绝对值积分都趋向无穷），因此$\tan(x)$在这个区间上不是勒贝格可积的，勒贝格积分不存在。
• 阿达马正则化/其他正则化方法：阿达马正则化常用于处理奇点处的积分，对于这个积分，由于其柯西主值存在且为0，阿达马正则化的结果也会是0。另外，从函数的对称性来看，$\tan(x)$关于点$x=\pi$是奇函数（$\tan(\pi+t) = -\tan(\pi-t)$），对称区间上的积分恒为0，当区间趋近原区间时，这个结果保持不变，所以多数正则化方法都会给出0这个结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mattTheMathLearner