最近我碰到这么一个代数证明题，想和大家聊聊我的推导思路：

设 (a, b, c, d) 为非零常数，满足 ((a+b)(c+d) = 2ab+2cd)，证明以下恒等式成立：
$$2(b-c)^2(d-a)2 = (a-b)(a-c)(b-d)(c-d)$$

我最开始打算用直接展开的方法，把要证的等式左右两边都展开，再结合已知条件消去冗余项，从而证明两边相等，具体的展开步骤如下：

左边（LHS）展开过程： #

$$\begin{align}
\underline{\text{LHS }}: 2(b-c)^2(d-a)2 &= 2\left(b^2-2bc+c2\right)\left(d^2-2ad+a2\right)\
&=2b^2d2-4ab^2d+2a2b^2-4bcd2+8abcd-4a^2bc+2c2d^2-4ac2d+2a^2c2
\end{align}$$

右边（RHS）展开过程： #

$$\begin{align}
\underline{\text{RHS}}: (a-b)(a-c)(b-d)(c-d) &= \left(a^{2-ac-ab+bc\right)\left(bc-bd-cd+d}2\right)\
&= a^2bc-a2bd-a^2c2+a^2cd+ac3-ac^2d-abc2+abcd-a^2bc+ab2d+abc^2-abd2-b^2c2+b^2cd+bc2d-bcd^2
\end{align}$$

先把已知条件展开整理一下：
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd = 2ab + 2cd$$
移项可得：
$$ac + ad + bc + bd - 2ab - 2cd = 0$$

接下来就可以把这个变形后的式子代入到左右两边展开的结果里，逐步合并同类项、消去相同的项，最终就能验证左边和右边是完全相等的，这样也就完成了恒等式的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ethanolex