今天咱们用分情况讨论的方法来证明这个针对实数的绝对值不等式：对于任意实数(a)和(b)，如果(|a| \leq b)，那么必然有(-b \leq a \leq b)。

情况1：(a \geq 0) #

当(a)是非负数时，根据绝对值的定义，(|a| = a)，所以题目中的条件(|a| \leq b)就直接等价于(a \leq b)。
又因为我们已经限定了(a \geq 0)，自然能得出(0 \leq a \leq b)。而由于(|a|)是非负数，要满足(|a| \leq b)，(b)必然也是非负数，所以(-b \leq 0)，把范围扩展后就得到(-b \leq a \leq b)，符合我们要证明的结论。

情况2：(a < 0) #

当(a)是负数时，绝对值的定义变为(|a| = -a)，因此条件(|a| \leq b)可以转化为(-a \leq b)。
给这个不等式两边同时乘以(-1)，注意不等号方向要反转，就能得到(a \geq -b)。同时，因为(a < 0)，且(b)是非负数（理由同情况1），所以(a < 0 \leq b)，也就是(a \leq b)。
把这两个结论结合起来，就有(-b \leq a \leq b)，同样符合我们要证的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Darren