嘿，我来帮你拆解这个几何构造的问题，顺便给你一些实用的推导和分析思路：

首先先把你的操作步骤明确清楚（避免歧义）：
我们有一个定义在闭区间上的可微函数 f(x)，给定一个固定的正实数 r，对函数图像上的每一个点 (x, f(x))，我们做两件事：

• 第一步：画出该点处的法线
• 第二步：在这条法线上，挑出那个距离原定点 (x, f(x)) 恰好为 r，而且y坐标比原定点更高的点，把所有这些点连起来就得到了一条新曲线，对吧？

那首先咱们先推导这条新曲线的参数方程，这是研究它的基础：
先回忆下，函数 f(x) 在点 x 处的导数是 f’(x)，那法线的斜率就是 -1/f’(x)（当 f’(x)≠0 时；如果导数为0，法线就是垂直向上的竖直线，这个情况后面会自动覆盖）。

要找到沿法线方向平移r距离且y增大的点，我们需要先算指向y正方向的单位法线向量：
法线的方向向量可以表示为 (-f’(x), 1)（因为斜率是 -1/f’(x)，也就是Δy/Δx = -1/f’(x)，所以Δx = -f’(x)*Δy，取Δy=1的话Δx就是 -f’(x)），这个向量的模长是 sqrt( [f’(x)]² + 1 )，所以单位化之后就是：
( -f’(x)/sqrt(1 + [f’(x)]² ), 1/sqrt(1 + [f’(x)]² ) )

那从原定点 (x, f(x)) 沿着这个单位向量移动r距离，得到的新点 (X, Y) 的参数方程就是：

X = x - r * f’(x) / sqrt(1 + [f’(x)]² )
Y = f(x) + r / sqrt(1 + [f’(x)]² )

这里的参数就是原函数的自变量 x，遍历原函数的整个定义域闭区间就行。比如原函数是 f(x)=x²，代入的话就能得到 X = x - 2r x / sqrt(1+4x²)，Y = x² + r / sqrt(1+4x²)，直接用图形计算器代入就能画出这条新曲线了。

接下来咱们看看这条新曲线的切线性质，这是个很有意思的点：
我们对参数方程求导，计算新曲线在对应点的切线斜率 dY/dX（等于 (dY/dx)/(dX/dx)）：
先算 dY/dx：
dY/dx = f’(x) + r * (-1/2)(1 + [f’(x)]²)^(-3/2) * 2f’(x)f''(x) = f’(x) - [ r f’(x)f''(x) ] / (1 + [f’(x)]²)^(3/2)
再算 dX/dx：
我直接给你化简后的结果（省得你算错）：
dX/dx = 1 - [ r f''(x) ] / (1 + [f’(x)]²)^(3/2)
然后把 dY/dx 提公因子 f’(x)，就会发现：
dY/dX = f’(x) * [ 1 - r f''(x)/(1 + [f’(x)]²)^(3/2) ] / [ 1 - r f''(x)/(1 + [f’(x)]²)^(3/2) ] = f’(x)
哇，这结果很意外吧？也就是说新曲线在对应参数x处的切线斜率，和原函数在x处的切线斜率完全相等，相当于新曲线和原函数在对应点是“平行”的，这个性质很有用，比如你可以用它快速判断新曲线的增减性和原函数的关系。

另外还有个需要注意的点：当 1 - r f''(x)/(1 + [f’(x)]²)^(3/2) = 0 时，dX/dx=0，这时候新曲线会出现奇点（比如尖点），这时候x的微小变化会导致X的突变，也就是新曲线在这个位置会有一个“折角”，你可以代入具体的函数来验证，比如原函数是f(x)=x³，f''(x)=6x，当 1 - r*6x/(1+9x⁴)^(3/2)=0 时，对应的点就是新曲线的奇点。

如果你有具体的函数要分析，直接把f(x)、f’(x)、f''(x)代入上面的参数方程和导数公式就行，用图形计算器画出来对比下，就能更直观地理解这条曲线的性质了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie