没问题，我来一步步给你讲清楚怎么用这个通用的单量子比特幺正矩阵公式来实现旋转操作~

首先，你已经知道所有单量子比特的幺正操作都可以写成这个统一形式：
$$
U = \exp\left(-{\rm i},\frac{\Theta,\sigma \cdot n}{2}\right),
$$
这里面的几个参数得先搞明白：

• $\Theta$：就是你要旋转的角度
• $n$：三维空间里的单位方向向量，用来指定你要绕哪个轴旋转
• $\sigma = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$：泡利矩阵组成的向量，三个泡利矩阵的具体形式是：
  $$\sigma_x = \begin{pmatrix}
  0 & 1\
  1 & 0
  \end{pmatrix}
  $$
  $$\sigma_y = \begin{pmatrix}
  0 & -i\
  i & 0
  \end{pmatrix}
  $$
  $$\sigma_z = \begin{pmatrix}
  1 & 0\
  0 & -1
  \end{pmatrix}
  $$

接下来重点说怎么用这个公式，就拿你提到的绕X轴旋转来举例：
要实现绕X轴的旋转，我们只需要把方向向量$n$设为X轴的单位向量，也就是$n=(1,0,0)$。把它代入通用公式后，$\sigma \cdot n$就简化成了$\sigma_x$，所以绕X轴旋转$\Theta$角的幺正矩阵$U_x(\Theta)$就是：
$$
U_x(\Theta) = \exp\left(-{\rm i},\frac{\Theta,\sigma_x}{2}\right)
$$

因为泡利矩阵有个特性：$\sigma_x^2 = I$（单位矩阵），所以我们可以把这个指数形式展开成更直观的三角函数形式：
$$
U_x(\Theta) = \cos\left(\frac{\Theta}{2}\right)I - i\sin\left(\frac{\Theta}{2}\right)\sigma_x
$$
把$\sigma_x$的具体矩阵代入进去，就能得到最终的旋转矩阵：
$$
U_x(\Theta) = \begin{pmatrix}
\cos\left(\frac{\Theta}{2}\right) & -i\sin\left(\frac{\Theta}{2}\right)\
-i\sin\left(\frac{\Theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\Theta}{2}\right)
\end{pmatrix}
$$

举个实际的小例子：如果你想把量子态$|0\rangle = \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}$绕X轴旋转$\pi$角（也就是180度），把$\Theta=\pi$代入进去，$\cos(\pi/2)=0$，$\sin(\pi/2)=1$，得到：
$$
U_x(\pi) = \begin{pmatrix}0 & -i\-i & 0\end{pmatrix}
$$
把这个矩阵作用在$|0\rangle$上，结果就是$U_x(\pi)|0\rangle = -i|1\rangle$——这就实现了把$|0\rangle$翻转成$|1\rangle$的操作（量子力学里全局相位$-i$不影响态的本质，所以可以忽略）。

同理，绕Y轴或者Z轴旋转也是完全一样的逻辑：

• 绕Y轴旋转：设$n=(0,1,0)$，对应的幺正矩阵展开后是：
  $$
  U_y(\Theta) = \begin{pmatrix}
  \cos\left(\frac{\Theta}{2}\right) & -\sin\left(\frac{\Theta}{2}\right)\
  \sin\left(\frac{\Theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\Theta}{2}\right)
  \end{pmatrix}
  $$
• 绕Z轴旋转：设$n=(0,0,1)$，对应的幺正矩阵展开后是：
  $$
  U_z(\Theta) = \begin{pmatrix}
  e^{-i\Theta/2} & 0\
  0 & e^{i\Theta/2}
  \end{pmatrix}
  $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Curious