嗨，这个问题问得很关键——答案是不一定，也就是说存在不独立的整值随机变量X和Y，满足它们的概率生成函数的乘积等于X+Y的概率生成函数。

我给你举个具体的反例，一看就懂：

我们让X和Y的可能取值都是0、1、2，先定义它们的边缘分布：

• P(X=0) = P(X=2) = 1/4，P(X=1) = 1/2
• P(Y=0) = P(Y=2) = 1/4，P(Y=1) = 1/2

现在构造它们的联合概率分布：

• P(X=0,Y=0) = 1/16，P(X=0,Y=1) = 3/16，P(X=0,Y=2) = 0
• P(X=1,Y=0) = 1/16，P(X=1,Y=1) = 3/8，P(X=1,Y=2) = 1/16
• P(X=2,Y=0) = 0，P(X=2,Y=1) = 3/16，P(X=2,Y=2) = 1/16

首先验证X和Y不独立：比如P(X=0,Y=1)=3/16，但P(X=0)P(Y=1)=(1/4)(1/2)=2/16=1/8，显然3/16≠1/8，所以它们确实不独立。

接下来算概率生成函数：

• G_X(s) = G_Y(s) = (1/4) + (1/2)s + (1/4)s² = (1 + 2s + s²)/4 = (1+s)²/4
• 所以G_X(s)G_Y(s) = [(1+s)²/4]^2 = (1+s)^4/16 = (1 + 4s + 6s² + 4s³ + s^4)/16

然后计算X+Y的概率生成函数G_{X+Y}(s)：
先算出X+Y各个取值的概率：

• X+Y=0：只有(0,0)，概率1/16
• X+Y=1：(0,1)+(1,0)，概率3/16 + 1/16 = 4/16 = 1/4
• X+Y=2：(0,2)+(1,1)+(2,0)，概率0 + 3/8 + 0 = 6/16 = 3/8
• X+Y=3：(1,2)+(2,1)，概率1/16 + 3/16 =4/16=1/4
• X+Y=4：(2,2)，概率1/16

把这些代入G_{X+Y}(s)：
G_{X+Y}(s) = (1/16) + (1/4)s + (3/8)s² + (1/4)s³ + (1/16)s^4
通分后就是(1 + 4s + 6s² + 4s³ + s^4)/16，和G_X(s)G_Y(s)完全相等！

这个例子就实锤了：概率生成函数的乘积等于和的生成函数，只是X和Y独立的充分条件，而非必要条件——不同的联合分布完全可以产生相同的卷积结果（也就是相同的和分布）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AtStackExchange