说实话，我完全不知道该从哪儿下手。我觉得我懂怎么求特征为0的域扩张的伽罗瓦群，但一到有限域就犯迷糊了：

• 我本来想说$x^3-5$的根是$\sqrt{5}, -\sqrt{5}, \sqrt{5}\zeta_3$，分裂域是$\mathbb{F}_7(\sqrt{5}, \zeta_3)$，次数是3，但又觉得不能把$\mathbb{F}_7$当成$\mathbb{C}$的子域，得考虑它在某个代数闭域里的情况，这点我拿不准。
• 就算搞清楚分裂域是什么了，我也不知道怎么确定伽罗瓦群里的自同构。每个自同构应该把$x^3-5$的一个根映射到另一个根，但具体怎么操作呢？

嘿，别着急，咱们一步步拆解这个问题，有限域上的伽罗瓦理论确实和特征0的场景有差异，但核心逻辑是相通的~

第一步：理清分裂域的问题 #

你说得特别对，不能把$\mathbb{F}_7$当成$\mathbb{C}$的子域，得在有限域的代数闭包$\overline{\mathbb{F}_7}$里分析。首先先确认$x^3-5$在$\mathbb{F}_7$上的可约性：
计算$\mathbb{F}_7^*$（7阶域的乘法群，6阶循环群）里所有元素的三次方：

• $1^3=1$，$23=8\equiv1\mod7$，$3^{3=27\equiv6\mod7$，$4}3=64\equiv1\mod7$，$5^{3=125\equiv6\mod7$，$6}3=216\equiv6\mod7$
  可以看到，$\mathbb{F}_7$里的三次方元素只有1和6，5不在其中，所以$x^3-5$没有一次因式，作为三次多项式，它在$\mathbb{F}_7$上是不可约的。

接下来看分裂域：有限域的所有扩张都是单扩张，且$\mathbb{F}q$的n次扩张就是$\mathbb{F}{q^{n}$。假设$\alpha$是$x}3-5$的一个根，那么$\mathbb{F}7(\alpha)=\mathbb{F}{7^{3}$，因为$x}3-5$不可约，扩张次数是3。而$\mathbb{F}_{7^{3}$是$\mathbb{F}_7$的正规扩张（有限域的扩张都是正规且可分的），所以它包含$x}3-5$的所有根。

你之前提到的$\zeta_3$（三次单位根）其实已经在$\mathbb{F}_7$里了：因为$\mathbb{F}_7^{*$是6阶循环群，必然存在3阶元素，比如$2}3=8\equiv1\mod7$，所以$\zeta_3=2$或4（$4^2=2$，$43=1$）。那$x^{3-5$的另外两个根就是$\alpha\cdot2$和$\alpha\cdot4$，这两个根都在$\mathbb{F}_7(\alpha)$里，所以分裂域就是$\mathbb{F}_{7}3}$，不需要额外添加$\zeta_3$。

第二步：确定伽罗瓦群 #

有限域扩张的伽罗瓦群都是循环群，由弗罗贝尼乌斯自同构生成。对于$\mathbb{F}_{7^{3}/\mathbb{F}_7$，伽罗瓦群$\text{Gal}(\mathbb{F}_{7}3}/\mathbb{F}_7)$是3阶循环群，生成元是弗罗贝尼乌斯自同构$\sigma(x)=x^7$。

我们来看看这个自同构怎么作用在$x^3-5$的根上：
已知$\alpha^{3=5$，那么$\sigma(\alpha)=\alpha}7=\alpha^{{3+3+1}=(\alpha}3)^{2\cdot\alpha=5}2\cdot\alpha=25\alpha\equiv4\alpha\mod7$，而4正好是$\zeta_3^{2$（因为$\zeta_3=2$，$2}2=4$）；
再算$\sigma^{2(\alpha)=\sigma(4\alpha)=4}7\cdot\alpha^{7$，因为$4}6=(4³⁾2=1^{2=1$，所以$4}7=4^{6\cdot4=4$，因此$\sigma}2(\alpha)=4\cdot4\alpha=16\alpha\equiv2\alpha\mod7$，也就是$\zeta_3\alpha$；
$\sigma^{3(\alpha)=\sigma(2\alpha)=2}7\cdot\alpha^7=2\cdot4\alpha=8\alpha\equiv\alpha\mod7$，回到了原根，正好是恒等映射。

所以这个伽罗瓦群就是3阶循环群，和$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$同构。

总结一下 #

• $x^{3-5$在$\mathbb{F}_7$上不可约，分裂域为$\mathbb{F}_{7}3}$，扩张次数是3；
• 伽罗瓦群是3阶循环群，由弗罗贝尼乌斯自同构$\sigma(x)=x^{7$生成，作用在根上的方式是将$\alpha$依次映射到$\zeta_3}2\alpha$、$\zeta_3\alpha$，最后回到$\alpha$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RatherAmusing