题目：Single Option Correct Type #

已知实数 (x, y, z, t \in \mathbb{R}) 满足：
$$4=\frac{(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 + (t + 1)^2}{x+y+z+t}$$
求下面乘积的值：
$$(x-1+ \frac{1}{y})(y -1+ \frac{1}{z})(z -1+ \frac{1}{t})(t -1+ \frac{1}{x})$$

选项：

• (1) 等于1
• (2) 等于-1
• (3) 等于0
• (4) 无法确定

你的思路疑问 #

我一开始直接假设所有变量都等于1，代入后得到结果是1，刚好对应选项(1)，但这只是选择题的技巧，要是主观题不能这么投机取巧。我自己化简到了这一步：
$$2(x+ y+ z +t)= x^2 + y^2 + z^2 + t^2 +4$$
现在不知道该用AM-GM不等式还是其他方法继续推导。

严谨推导过程 #

咱们一步步来拆解已知条件，其实这个等式已经唯一限定了变量的取值，根本不需要投机取巧：

1. 整理已知等式
   先把分母移到左边，展开分子的平方项：
   $$4(x+y+z+t) = (x^2+2x+1)+(y2+2y+1)+(z^2+2z+1)+(t2+2t+1)$$
   把右边合并同类项：
   $$4S = (x^2+y2+z^2+t2) + 2(x+y+z+t) +4$$
   这里我们设 (S = x+y+z+t)，(Q = x^2+y2+z^2+t2)，代入后就能简化成你得到的式子：
   $$Q = 2S -4$$

2. 利用实数平方和的性质（柯西不等式/平方和下界）
   对于任意实数，平方和有一个下界：(Q \geq \frac{S^2}{4})，这个结论来自柯西不等式，或者说当所有变量相等时，平方和取得最小值 (\frac{S^2}{n})（这里n=4）。

把 (Q=2S-4) 代入这个不等式：
$$2S -4 \geq \frac{S^2}{4}$$
两边乘4消去分母：
$$8S -16 \geq S^2$$
整理成二次不等式：
$$S^2 -8S +16 \leq 0$$
也就是：
$$(S-4)^2 \leq 0$$

3. 确定变量取值
   平方数是非负的，所以只有当 ((S-4)^2=0) 时不等式成立，即 (S=4)。

此时代入 (Q=2S-4)，得到 (Q=4)。而 (Q=x^2+y2+z^2+t2=4)，同时 (S=x+y+z+t=4)，结合平方和取最小值的条件：当且仅当所有变量相等时，平方和等于 (\frac{S^2}{4})，所以每个变量都等于 (4\div4=1)。

4. 计算目标乘积
   既然 (x=y=z=t=1)，代入目标式：
   $$(1-1+\frac{1}{1})(1-1+\frac{1}{1})(1-1+\frac{1}{1})(1-1+\frac{1}{1}) = 1\times1\times1\times1=1$$

所以不管是选择题还是主观题，这个乘积的值都是1，对应选项(1)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1365393