提问内容 #

我理解坐标表示的基本概念，但不懂如何对矩阵进行基变换，所以如果能解释我们每一步操作的原因会非常有帮助。谢谢。

解答 #

嘿，我完全懂这种卡在基变换上的感觉——坐标表示入门很直观，但一到矩阵的基变换就容易懵，总觉得是在套公式，不知道背后的逻辑。咱们慢慢来，把“为什么这么做”掰扯清楚：

先搞懂核心前提：矩阵是线性变换的“语言”

矩阵本质上是线性变换的“描述工具”，而这个描述是依赖于我们选择的“基”（可以理解为测量用的“尺子”）的。同一个线性变换，用不同的基去描述，得到的矩阵就不一样，但变换本身是客观存在的——就像同一个苹果，用厘米量和用英寸量，得到的数字不同，但苹果大小没变。

第一步：先搞懂向量的基变换（矩阵基变换的基础）

假设我们有两个基：

• 旧基 $B = {b_1, b_2, ..., b_n}$（比如二维空间的标准基 ${(1,0),(0,1)}$）
• 新基 $C = {c_1, c_2, ..., c_n}$（比如斜着的基 ${(1,1),(1,-1)}$）

我们定义过渡矩阵 P：把新基的每个向量，用旧基的坐标表示出来，然后把这些坐标作为列拼成矩阵。比如新基的第一个向量 $c_1$ 在旧基下的坐标是 $[c_1]_B$，第二个是 $[c_2]_B$，那 P = [[c_1]_B, [c_2]_B, ..., [c_n]_B]。

这个 P 的作用是**“翻译”坐标**：如果一个向量 $v$ 在新基下的坐标是 $[v]_C$，那么它在旧基下的坐标就是 $[v]_B = P \times [v]_C$——相当于把“新尺子的读数”转换成“旧尺子的读数”。

反过来，如果要把旧基坐标转成新基坐标，就用 P 的逆矩阵 $P^{-1}$：$[v]_C = P^{-1} \times [v]_B$。

第二步：矩阵的基变换——本质是“线性变换的语言翻译”

假设我们有一个线性变换 $T$，它在旧基 $B$ 下的矩阵是 $A$（意思是：用旧基坐标表示的向量 $[v]_B$，经过 $T$ 变换后的坐标是 $A \times [v]_B$）。现在我们想求它在新基 $C$ 下的矩阵 $A'$，为什么要用公式 $A' = P^{-1} A P$？咱们一步步拆解：

1. 先把新基坐标翻译成旧基坐标：如果向量 $v$ 在新基下的坐标是 $[v]_C$，先转成旧基坐标：$[v]_B = P \times [v]_C$
2. 用旧矩阵做变换：在旧基下，$T(v)$ 的坐标是 $A \times [v]_B = A \times P \times [v]_C$
3. 把变换后的坐标翻译回新基：现在要得到 $T(v)$ 在新基下的坐标，就得用逆矩阵转回去：$[T(v)]_C = P^{-1} \times [T(v)]_B = P^{-1} \times A \times P \times [v]_C$
4. 对比定义得到新矩阵：根据新矩阵 $A'$ 的定义，$[T(v)]_C = A' \times [v]_C$，所以对比一下就得出 $A' = P^{-1} A P$

举个简单例子帮你理解

比如二维空间里，线性变换 $T$ 是“绕原点旋转90度”，在标准基 $B={(1,0),(0,1)}$ 下的矩阵是：

A = [[0, -1],
     [1,  0]]

现在换个新基 $C={(1,1),(1,-1)}$，求 $T$ 在 $C$ 下的矩阵 $A'$：

1. 先做过渡矩阵 P：把新基的向量用旧基表示，得到 P = [[1,1],[1,-1]]
2. 求 P 的逆矩阵：$P^{-1} = \frac{1}{2} \times [[1,1],[1,-1]]$
3. 计算 $A' = P^{-1} A P$：
   • 先算 $A \times P$：[[0*1 + (-1)*1, 0*1 + (-1)*(-1)], [1*1 + 0*1, 1*1 + 0*(-1)]] = [[-1,1],[1,1]]
   • 再算 $P^{-1} \times (A \times P)$：$\frac{1}{2} \times [[1*(-1)+11, 11+11], [1(-1)+(-1)1, 11+(-1)*1]] = [[0,1],[-1,0]]$

这个结果的意思是：在新基 $C$ 下，旋转90度的变换矩阵是 [[0,1],[-1,0]]——你可以验证一下：新基的第一个向量 $(1,1)$ 旋转90度后变成 $(-1,1)$，用新基表示就是 $0*(1,1) + (-1)(1,-1)$，对应矩阵的第一列 $[0,-1]^T$；第二个向量 $(1,-1)$ 旋转90度后变成 $(1,1)$，用新基表示就是 $1(1,1) + 0*(1,-1)$，对应矩阵的第二列 $[1,0]^T$，完全吻合。

总结一下：基变换的核心就是把线性变换的描述从一种“基语言”翻译成另一种“基语言”，P 是翻译字典，逆矩阵是反向字典，先转成旧语言处理，再转回新语言，就得到了新的矩阵表示。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Voltage crayon 24