实或复赋范线性空间中范数差极限的求解疑问

大家好，我最近在做Torchinsky的泛函分析习题集里的第8.4题，遇到了瓶颈，想向各位请教一下。

题目原文如下：

设$X$是实或复赋范线性空间，$x, y \in X$，$\lambda \in \mathbb{R}$，求$\lim _n(|(n+\lambda) x+y|-|n x+y|)$。

习题集给出的答案是$|\lambda x|$，但没有附上证明过程。

我目前能推进的唯一步骤是：通过三角不等式可以推出这个极限的上界是$|\lambda x|$，但始终找不到合适的下界，没办法用夹逼准则来完成整个证明。有没有大佬能给我一些思路或者提示呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者opaladozen