2014个数字排成一个环形，每个数字是1或-1。我们计算环形上每4个连续数字的乘积，然后把这2014个乘积相加。请问这个和可能是以下哪个选项？

A. -100 B. 1606 C. 2018 D. -8 E. -51

我的思路 #

我来一步步分析哈，既然题目问的是“这个和可能是哪个值”，那我们直接结合选项来排查就好：

首先先明确几个核心点：

• 每个连续4数的乘积只能是1或-1（毕竟四个±1相乘，结果逃不出这两个数）。假设2014个乘积里有k个1，剩下的(2014 - k)个是-1，那么总和 ( S = k \times 1 + (2014 - k) \times (-1) = 2k - 2014 )。

第一步：排除明显不可能的选项

从S的表达式能看出来，S一定是偶数（因为2k是偶数，2014也是偶数，偶数减偶数还是偶数）。那先看选项：

• E选项-51是奇数，直接排除；
• C选项2018，代入表达式得 ( 2k - 2014 = 2018 )，解得k=2016，但我们总共只有2014个乘积，k最多只能是2014，所以2018不可能，排除C。

第二步：结合环形的约束条件进一步排查

接下来看剩下的A、B、D选项，我们得利用环形排列的特性来分析：
把环形上的数记为 ( a_1,a_2,...,a_{2014} )（因为是环形，所以 ( a_{2015}=a_1 )，( a_{2016}=a_2 )，以此类推）。每个数 ( a_i ) 会出现在4个连续4数的乘积里（比如 ( a_1 ) 会出现在 ( (a_{2012},a_{2013},a_{2014},a_1) )、( (a_{2013},a_{2014},a_1,a_2) )、( (a_{2014},a_1,a_2,a_3) )、( (a_1,a_2,a_3,a_4) ) 这四个乘积中）。

那把所有2014个乘积相乘，每个 ( a_i ) 都会被乘4次，所以总乘积就是 ( (a_1a_2...a_{2014})^4 = 1 )（毕竟±1的四次方都是1）。

另一方面，总乘积也等于 ( 1^k \times (-1)^{2014 - k} = (-1)^{2014 - k} )。因为2014是偶数，所以2014 - k的奇偶性和k相反，而总乘积是1，所以 ( (-1)^{2014 - k}=1 )，这说明2014 - k是偶数，也就是k必须是偶数。

现在把k是偶数这个条件代入S的表达式：( S=2k-2014 )，k是偶数，设k=2t（t是整数），那么 ( S=4t - 2014=4(t-503)-2 )，也就是说S加上2之后必须是4的倍数（或者说S除以4余2）。

现在逐个看剩下的选项：

• A选项-100：-100+2=-98，-98除以4不是整数，不符合；
• B选项1606：1606+2=1608，1608÷4=402，是整数，符合条件；
• D选项-8：-8+2=-6，-6除以4不是整数，不符合。

所以最终只有B选项是可能的取值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1353144