最近我在学习凯勒几何的时候碰到了这么一个线性代数问题，想请教下大家：

若$A$和$B$均为实对称正定矩阵，则${\rm tr}(AB^{-1})B - A$同样是正定矩阵。

先提个特殊情况方便理解：当$B=I$（单位矩阵）时，这个结论其实就是说，用$A$所有特征值的和减去$A$的任意一个特征值，结果肯定大于0——毕竟正定矩阵的特征值全是正数，总和减去单个特征值后剩下的还是正的和，这一点很好想通。

再说说我目前想到的一般情况的推导方向：
我们可以找到可逆矩阵$X$和正交矩阵$Y$，满足：
$$X^TBX=I,\quad Y^T(XTAX)Y=\text{对角矩阵}$$
对目标矩阵做相似变换后会得到：
$$Y^TXT({\rm tr}(AB^{-1})B - A)XY={\rm tr}(AB^{-1})I - \text{diag}(X^TAX\text{的特征值})$$
现在只需要证明这个对角矩阵的所有对角元都是正的就可以了——毕竟相似变换不会改变矩阵的正定性，只要这个对角矩阵正定，原矩阵自然也是正定的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HeroZhang001