钝角等腰三角形中线段DC长度的求解问询

题目详情 #

在钝角$\triangle ABC$中，$\angle B$为钝角，且$AB=BC$（$\triangle ABC$为等腰三角形）。作$\angle BAC$的内角平分线$AD$，在$AC$边上取点$Q$，使得$\angle ADQ=90^\circ$。已知$AQ=10$，求线段$DC$的长度。

参考答案：10

几何示意图说明 #

△ABC中，B为钝角顶点，AB与BC长度相等；AD是∠BAC的内角平分线，连接A到BC边上的D点；Q是AC边上的一点，满足AD与DQ互相垂直。

我的推导尝试 #

我目前梳理出了这些推导步骤：

• 设$\angle QAD = \theta = \angle DAB$（依据AD是∠BAC的角平分线）
• 得出比例关系：$\frac{AB}{BD} = \frac{10+CQ}{CD}$
• 由$\triangle ABC$是等腰三角形（$AB=BC$），推导出$\angle C = 2\theta$
• 后续推导卡住了，还没完成...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者peta arantes