大家好，我遇到了一个组合数学问题，想请教各位帮忙梳理思路：

问题详情 #

给定集合 ( A = {1, 2, \dots, 2021} )，要从A的所有子集中选出一部分子集，要求任意两个不同子集的交集恰好包含2019个元素，请问这样的子集最多能选出多少个？

我的初步想法 #

我已经知道答案应该是2021，但还没法严谨证明这就是最大值。目前我想到的一个满足条件的选法是：取所有大小为2020的A的子集——也就是每个子集刚好漏掉A里的一个元素。这样任意两个不同的这类子集，它们的交集就是A去掉那两个被各自漏掉的元素，也就是2021-2=2019个元素，完全符合题目要求。

不过我现在卡壳的点是：怎么证明不存在数量超过2021的子集族满足这个条件呢？有没有什么系统性的方法（比如用线性代数里的向量表示子集，或者组合计数的不等式）来推导这个上限？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1353144