嗨，咱们来拆解这个问题哈～

首先要明确：你看到的这个表达式并不是一个新的ζ函数，它其实是**黎曼ζ函数（Riemann zeta function）**的一个等价解析延拓形式，只是写法比较有组合数学风格而已。

接下来聊聊这个表达式的设计动机，主要有这几个关键点：

• 扩展收敛域的直观构造：黎曼ζ函数的原始定义$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}$只在$\text{Re}(s) > 1$的区域收敛。这个表达式通过引入二项式系数的交替求和，再结合因子$\frac{1}{1-2^{1-s}}$，可以把ζ(s)的有效定义域扩展到$\text{Re}(s) > 0$（除了$s=1$这个极点）。和复分析里用柯西积分做解析延拓的抽象方法不同，这种构造完全用级数和组合手段实现，更直观易懂。
• 有限差分的应用：内层的求和$\sum_{j=1}^{m}(-1){j-1}\binom{m}{j}j^{{-s}$本质上是函数$f(n)=n}{-s}$的m阶有限差分的变形。交替的二项式求和可以“过滤”掉低阶项，帮助我们处理原本发散的级数，把仅在右半平面收敛的原始级数转化为在更大区域收敛的形式，这是解析延拓的一种构造性技巧。
• 数值计算的便利性：这种形式在数值计算ζ(s)时，对于$\text{Re}(s)$位于$(0,1)$区间的取值，收敛速度比原始级数快很多——因为$2^{-(m+1)}$是指数衰减的，内层求和随着m增大也会快速收敛，很适合做ζ函数的数值近似。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1274233