问题描述 #

我想要证明关于Levi-Civita符号的如下等式，但遇到了瓶颈：
$$\left|{A^T}\right|=\left|{A}\right|, \tag{1}$$
其中$A$是3阶方阵。

同时我还得到了一个可以使用的等式，但不确定它的由来：
$$|A|\epsilon_{lmn}=A_{li}A_{mj}A_{nk}\epsilon_{ijk}, \tag{2}$$
这里$\epsilon$是Levi-Civita符号。

我尝试展开等式(2)的右侧，但因为有三个独立变量，展开后会得到27个表达式。其中有些结果是相同的，比如当$(l,m,n)=(1,1,1),(2,2,2)$这类情况时，结果为0。我该如何着手解决这个问题？

解答思路 #

别担心，完全不用硬展开27项来计算，我们可以利用Levi-Civita符号的性质和转置矩阵的核心定义来一步步推导，过程其实很清晰：

步骤1：明确转置矩阵的元素关系 #

首先要牢记转置矩阵的基本性质：转置矩阵$A^{T$的元素满足$(A}T){ij}=A{ji}$，也就是原矩阵第$i$行第$j$列的元素，等于转置矩阵第$j$行第$i$列的元素。

步骤2：对转置矩阵套用给定的等式(2) #

把等式(2)中的矩阵$A$替换成$A^T$，根据等式(2)的形式，我们可以得到：
$$|A^{T|\epsilon_{lmn}=(A}T){li}(A^T)_{mj}(AT){nk}\epsilon_{ijk}$$
代入转置矩阵的元素定义$(A^T){xy}=A{yx}$，右边的表达式可以改写为：
$$|A^T|\epsilon_{lmn}=A_{il}A_{jm}A_{kn}\epsilon_{ijk}$$

步骤3：利用Levi-Civita符号的性质调整表达式 #

Levi-Civita符号有个关键性质：指标的循环置换不会改变符号（比如$\epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}=\epsilon_{jki}$），同时它的取值只和指标的置换奇偶性有关。

现在看我们得到的右边表达式$A_{il}A_{jm}A_{kn}\epsilon_{ijk}$，它本质上是对矩阵$A$的第$l,m,n$列元素进行行列式展开：

• 当$l,m,n$是1,2,3的偶置换时，这个求和结果等于$|A|$；
• 当$l,m,n$是奇置换时，结果等于$-|A|$；
• 当$l,m,n$中有重复指标时，结果为0。

而这正好和$|A|\epsilon_{lmn}$的取值完全一致，所以我们可以得出：
$$A_{il}A_{jm}A_{kn}\epsilon_{ijk}=|A|\epsilon_{lmn}$$

步骤4：推导最终结论 #

把上面的结果代回步骤2的等式，我们得到：
$$|A^T|\epsilon_{lmn}=|A|\epsilon_{lmn}$$
对于任意的$l,m,n$，这个等式都成立。当$l,m,n$是互不相同的指标时，$\epsilon_{lmn}\neq0$，此时我们可以两边同时除以$\epsilon_{lmn}$，直接得到：
$$|A^T|=|A|$$
这样就完成了等式(1)的证明。

补充：关于等式(2)的由来 #

等式(2)其实是行列式定义的一般化形式：3阶行列式的标准定义是$|A|=\epsilon_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k}$，而等式(2)把这个定义推广到了任意$l,m,n$行的情况——当取矩阵的第$l,m,n$行元素和$\epsilon_{ijk}$收缩时，结果正好是$|A|$乘以$\epsilon_{lmn}$，完美对应了置换奇偶性带来的符号变化和重复指标的零值情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayato