咱们先把问题说清楚哈：考虑n维实向量空间里的一个凸集合 $C\subset \mathbb{R}^{n}$，还有一个连续的分段仿射函数 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$，那$f(C) = {y _| y = f(x),~ x\in C }$这个像集合还能保持凸性吗？

先看你提到的“全局仿射函数”（这个说法没问题哈，就是整个定义域上都满足仿射性质的函数）的情况：这类函数肯定能保持凸集的凸性。因为全局仿射函数满足两个核心性质：对任意实数 $a\in \mathbb{R}$，有 $f'(ax) = af'(x)$；对任意两个向量 $x_1, x_2$，有 $f'(x_1 + x_2) = f'(x_1) + f'(x_2)$（严格来说仿射函数是线性函数加常数项，但凸性保持的逻辑是一致的）。

具体推导一下：对于凸集$C$里的任意两个点 $x_1, x_2 \in C$，以及任意 $\theta\in[0, 1]$，根据凸集的定义，$\theta x_1 + (1-\theta) x_2$ 必然也在$C$里。代入全局仿射函数的性质，就有：
$$ \theta f'(x_1) + (1 - \theta) f'(x_2) = f'(\theta x_1 + (1-\theta) x_2), ~ \theta\in[0, 1];$$
右边的结果显然属于$f'(C)$，这就说明$f'(C)$里任意两点的凸组合都在集合内，所以$f'(C)$是凸集。

但换成连续分段仿射函数的话，答案就不一样了——它没办法保证像集合一定是凸的，咱们举个简单的例子就能理解：

取一维凸集$C=[0,2]$（就是从0到2的闭区间，典型的凸集），定义一个连续分段仿射函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$：

• 当$x\in[0,1]$时，$f(x)=(x, 0)$；
• 当$x\in[1,2]$时，$f(x)=(2-x, 1)$。

这个函数是连续的，而且每一段都是仿射的。那$f(C)$是什么呢？就是从$(0,0)$到$(1,0)$的线段，加上从$(1,0)$到$(0,1)$的线段。你看，$(0,0)$和$(0,1)$这两个点都在$f(C)$里，但它们的凸组合$(0, 0.5)$却不在$f(C)$里，这就说明$f(C)$不是凸集。

所以结论很明确：只有全局仿射函数能保证凸集的像仍是凸集，连续分段仿射函数做不到这一点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者linfengleeeeeee