满足区间绝对值约束的二次函数|a|+|b|+|c|的最大值求解及验证疑问

大家好，我现在遇到了这么一个数学问题，想和大家探讨下：

已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（其中 $a\ne 0$），给定正整数 $n\in\mathbb N_+$，函数满足对所有 $x\in[-n,n]$，都有 $|f(x)|\leq n$。我需要求出 $|a|+|b|+|c|$ 的最大值。

我自己先做了个初步猜测，觉得最大值应该是 $\frac{2}{n}+n$，因为我找到一个满足约束的函数：$f(x)=\frac{2}{n}x^2-n$——把区间 $[-n,n]$ 里的任意 $x$ 代入，$|f(x)|$ 确实都不超过 $n$。

不过我自己推导出来的最好的上界估计是 $|a|+|b|+|c|\leq \frac{2}{n}x^2+n+1$，这里我有点不确定是不是正确。

我的推导思路是这样的：考虑函数在 $x=n$、$x=-n$ 和 $x=0$ 这三个点的取值，这会得到一组关于 $a,b,c$ 的线性方程……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Flaming