复分析问题咨询：整函数判定与全纯函数导数相等的性质证明

嘿，最近在学复分析的时候遇到两个问题，自己试着上手解了但还没完全搞明白，想请大家帮忙看看：

问题1：整函数的判定与可微点求解 #

给定函数 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$，表达式为：
$$ f(z) = \frac{1 - i}{4} \left( z^2 + \bar{z}^2 \right) + \frac{1 + i}{2} |z|^2. $$
请问 $f$ 是否是整函数？如果不是的话，要找出所有让 $f$ 可微的点。

问题2：全纯函数导数相等的性质证明 #

设 $f, g: D \rightarrow \mathbb{C}$ 是定义域 $D \subseteq \mathbb{C}$ 上的全纯函数，且对每一个 $z \in D$ 都满足 $f'(z) = g'(z)$。需要证明 $f$ 和 $g$ 之间只相差一个常数。

我的初步解题尝试 #

(a) 要判断 $f$ 是否为整函数，我知道首先得检查它是不是在整个复平面上全纯（holomorphic）……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1339343