首先，咱们先明确你的约束系统：你需要找到满足 (Ab = c) 的初始点 (b_0)，其中：

A <- rbind(c(1,1,1),c(-1,1,-1))
c <- c(0,5)

这是一个欠定线性系统（变量数3 > 方程数2），而且方程组是相容的（有解），解的形式是无穷多的——咱们先解一下方程组验证：

方程1: (b_1 + b_2 + b_3 = 0)
方程2: (-b_1 + b_2 - b_3 = 5)
把两个方程相加可得 (2b_2 = 5)，即 (b_2 = 2.5)；代入方程1得 (b_1 + b_3 = -2.5)，所以所有解可以表示为 (b = [b_1, 2.5, -2.5 - b_1]^T)，其中 (b_1) 是任意实数。

接下来分析你尝试的两种方法：

1. 方法 solve(t(A)%*%A)%*%t(A)%*%c 不可行的原因 #

这个公式其实是列满秩矩阵下的最小二乘解公式，但你的矩阵 (A) 是2×3，列数多于行数，导致 (t(A)%*%A) 是一个3×3的奇异矩阵（行列式为0）：

t(A) %*% A
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    2    0    2
# [2,]    0    2    0
# [3,]    2    0    2

因为矩阵不可逆，R中的solve()函数会直接报错，所以这个方法在你的场景下不适用。

2. 方法 ginv(A)%*%c 可行的原因 #

ginv(A) 计算的是Moore-Penrose广义逆，对于欠定的相容线性系统 (Ab = c)，(ginv(A)%*%c) 会给出所有可行解中欧几里得范数最小的那个解（最小范数解），完全符合梯度投影算法对初始点的要求（只要在可行域内即可）。

咱们手动计算验证一下：
广义逆 (A^+ = A^T(AAT)^{-1})，先算 (AA^T) 的逆：

AAt <- A %*% t(A)
#      [,1] [,2]
# [1,]    3   -1
# [2,]   -1    3
inv_AAt <- solve(AAt)
#      [,1] [,2]
# [1,] 0.375 0.125
# [2,] 0.125 0.375

再计算广义逆并求解：

A_plus <- t(A) %*% inv_AAt
#      [,1]   [,2]
# [1,] 0.25 -0.25
# [2,] 0.50  0.50
# [3,] 0.25 -0.25

b0 <- A_plus %*% c
#      [,1]
# [1,] -1.25
# [2,]  2.50
# [3,] -1.25

验证约束：(A%*%b0) 结果正好是 (c = [0,5])，而且这个解的范数是所有可行解中最小的，非常适合作为初始点。

额外选项：手动构造初始点 #

梯度投影算法对初始点的要求只需要它在可行域内，你也可以直接利用方程组的解结构手动构造，比如固定 (b_1=0)，得到 (b0 = [0, 2.5, -2.5]^T)，这个点同样满足约束，也能作为初始点使用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Olel Dias