求已知顶点坐标的三角形垂心通用计算公式
嘿，太懂你这种找不到垂心简洁公式的郁闷了——毕竟重心（三个顶点坐标直接平均）、内心（按边长加权平均）的公式都直观得很，垂心因为要算三条高线的交点，推导过程里的代数化简确实容易绕晕，手动算个三次出错太正常了！
先给你两种靠谱的方式：一种是经过验证的通用公式，另一种是不容易出错的分步计算法，你可以按需选择。
通用公式（行列式形式，准确但需注意符号）
假设三角形三个顶点为 $A=(x_1, y_1), \ B=(x_2, y_2) , \ C=(x_3, y_3)$，先通过联立两条高线的方程，用克莱姆法则推导得出垂心 $H=(x_h, y_h)$ 的坐标：
首先写出两条高线的线性方程组：
$$
\begin{cases}
(x_2 - x_3)x + (y_2 - y_3)y = (x_2 - x_3)x_1 + (y_2 - y_3)y_1 \
(x_1 - x_3)x + (y_1 - y_3)y = (x_1 - x_3)x_2 + (y_1 - y_3)y_2
\end{cases}
$$
用行列式求解的最终形式为：
$$
x_h = \frac{ \begin{vmatrix} (x_2 - x_3)x_1 + (y_2 - y_3)y_1 & y_2 - y_3 \ (x_1 - x_3)x_2 + (y_1 - y_3)y_2 & y_1 - y_3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} x_2 - x_3 & y_2 - y_3 \ x_1 - x_3 & y_1 - y_3 \end{vmatrix} }
$$
$$
y_h = \frac{ \begin{vmatrix} x_2 - x_3 & (x_2 - x_3)x_1 + (y_2 - y_3)y_1 \ x_1 - x_3 & (x_1 - x_3)x_2 + (y_1 - y_3)y_2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} x_2 - x_3 & y_2 - y_3 \ x_1 - x_3 & y_1 - y_3 \end{vmatrix} }
$$
这个公式准确，但手动计算时容易在行列式展开时出错，更推荐下面的分步方法。
分步计算法（新手友好，不易出错）
比起硬记复杂公式，分步计算两条高线的交点反而更稳妥，步骤如下：
求第一条高线的方程：
- 计算边 $BC$ 的斜率：$k_{BC} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$（如果 $x_3 = x_2$，说明BC是竖线，过A的高线就是水平线，方程为 $y = y_1$）
- 过A点的高线与BC垂直，斜率为 $k_{hA} = -\frac{x_3 - x_2}{y_3 - y_2}$（如果 $y_3 = y_2$，BC是水平线，高线就是竖线，方程为 $x = x_1$）
- 用点斜式写出高线方程：$y - y_1 = k_{hA}(x - x_1)$
求第二条高线的方程：
- 计算边 $AC$ 的斜率：$k_{AC} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}$（如果 $x_3 = x_1$，AC是竖线，过B的高线就是水平线，方程为 $y = y_2$）
- 过B点的高线斜率为 $k_{hB} = -\frac{x_3 - x_1}{y_3 - y_1}$（如果 $y_3 = y_1$，AC是水平线，高线就是竖线，方程为 $x = x_2$）
- 写出高线方程：$y - y_2 = k_{hB}(x - x_2)$
联立方程求解：
- 把两个高线方程联立，解出 $x$ 和 $y$，就是垂心的坐标。
验证小技巧
每次计算完，用简单三角形测试：比如直角三角形（垂心在直角顶点）、等边三角形（垂心与重心重合），能快速发现错误。比如直角三角形 $A(0,0), B(3,0), C(0,4)$，联立过B的水平线 $y=0$ 和过A的高线 $y=\frac{3}{4}x$，就能得到垂心 $(0,0)$，和预期一致。
我之前推导垂心公式时也栽过好几次符号错误的坑，后来就习惯用分步计算+简单案例验证的方法，再也没出错啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie
