嘿，你遇到的这个问题其实早有定论啦，这个到三个顶点距离之和最小的点有个专门的名字——费马点（Fermat Point），确实用坐标求导处理距离和的最小值会被根号搞得头大，换几何思路就顺畅多了！

我给你分情况拆解一下：

• 情况一：三角形所有内角都小于120°
  这时候费马点是三角形内部的一个点，它满足一个关键性质：与三个顶点的连线两两之间的夹角都是120°。
  找这个点的构造方法很直观：

  1. 取三角形任意两条边，分别向外作等边三角形；
  2. 把每个等边三角形的新顶点和原三角形的对角顶点连起来；
  3. 两条连线的交点就是你要找的费马点。
     举个例子，比如△ABC，以AB为边向外作等边△ABD，以AC为边向外作等边△ACE，连接CD和BE，它们的交点P就是费马点，此时PA+PB+PC的和是最小的。
     原理其实是利用旋转的几何性质，把三条距离转化成一条直线段的长度——当这三条距离能拼成一条直线时，和自然最小，这时候就刚好满足三个夹角都是120°。

• 情况二：三角形有一个内角大于等于120°
  这时候不用找内部点了，那个钝角（或平角）的顶点本身就是到三个顶点距离之和最小的点。你可以简单验证下：不管在内部取哪个点，把距离和和这个顶点的距离和对比，都会发现后者更小。

至于你提到的等腰三角形，它只是三角形的特殊情况：

• 如果等腰三角形的顶角小于120°，费马点会在它的对称轴上（因为对称性）；
• 如果顶角≥120°，那顶角顶点就是所求的点。

要是你想直观感受，可以拿个三角形模型，用三根绳子分别系在三个顶点，绳子另一端系在一起，把这个结往下拉，当绳子绷紧最短的时候，那个结的位置就是费马点，很直观~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Guess