关于所有黎曼2-流形光滑三角剖分存在性的完整证明问询

我最近在梳理紧黎曼$2$-流形$M$上高斯-博内定理的相关证明，发现几乎所有能找到的证明都默认一个前提：$M$存在光滑三角剖分——也就是那种边都是$M$上光滑曲线的三角剖分。

但我一直找不到一个完整的证明，来说明所有黎曼$2$-流形都确实存在这样的光滑三角剖分。

我知道Radó已经证明了拓扑$2$-流形的三角剖分存在性，但这类三角剖分不一定是光滑的，还需要额外的论证步骤，来说明如何从这种“连续”的三角剖分得到光滑版本。

另外，Lee的《黎曼流形导论》（第二版）里的问题9-5大概勾勒了光滑情况的证明思路，但感觉这个证明框架还不够完整...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tob Ernack