对于给定的合数 $n=a^pbqc^r \cdots$，我们知道它的因数个数是 $(p+1)(q+1)(r+1)...$，因数和是 $(a^0+a1+...+a^p)(b0+b^1+...+bq)(c^0+c1+...+c^r)...$。我理解因数个数的公式，但找不到因数和公式的证明，有人能解释一下吗？谢谢！

嗨，这其实和因数个数公式的思路一脉相承，只是从“计数”切换到“求和”视角而已，我给你一步步拆解：

首先，先回忆因数的本质构成：根据算术基本定理，n的任意一个正因数都可以写成 $a^x b^y c^z \cdots$ 的形式，其中$0 \leq x \leq p$，$0 \leq y \leq q$，$0 \leq z \leq r$……每个指数的选择都是完全独立的。

那计算所有因数的和，本质上就是把所有可能的这种形式的数全部加起来，写成求和式就是：
$$\sum_{x=0}^p \sum_{y=0}^q \sum_{z=0}^r \cdots (a^x b^y c^z \cdots)$$

接下来关键的一步来了——这个多重求和可以用乘法分配律的推广来展开！比如先看最简单的两个质数幂的情况：假设$n=a^p b^q$，那所有因数的和就是：
$$(a^0 + a^1 + ... + a^p) \times (b^0 + b^1 + ... + b^q)$$
你试着把这个乘积展开看看，每一项恰好是$a^x b^y$（x从0到p，y从0到q），正好对应了n的每一个唯一因数，把这些项加起来自然就是所有因数的总和。

把这个逻辑扩展到多个质数幂的情况也完全成立：把每个质数幂对应的等比数列和相乘，展开后每一项都是n的一个独特因数，所有项加起来就是我们要的因数和。

举个直观的例子验证一下：比如n=12，分解质因数是$2^2 \times 3^1$，用公式算因数和是$(1+2+4)(1+3)=7×4=28$。实际枚举12的因数：1、2、4、3、6、12，加起来$1+2+4+3+6+12=28$，完全匹配！

这下应该能get到这个公式的原理了吧😉

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ekarshi