嘿，咱们先聚焦核心问题：下面这个积分等式是否成立？

$$
\int_{0}^{{2\pi}\sqrt{a}2\cos^2x+b2\sin^2x}dx=
\int_{0}^{{2\pi}\sqrt{a}2\sin^2x+b2\cos^2x}dx
$$

答案是肯定的，而且右边的积分正是我们熟悉的椭圆周长计算公式。

为啥这两个积分相等？其实换个变量就能看明白：令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，当 $x$ 从 $0$ 遍历到 $2\pi$ 时，$t$ 也会完整覆盖 $0$ 到 $2\pi$ 的区间（只是顺序反转，但定积分上下限交换的符号变化会被抵消）。把这个替换代入左边积分：

$$
\int_{0}^{{2\pi}\sqrt{a}2\cos^2x+b2\sin^2x}dx = \int_{0}^{{2\pi}\sqrt{a}2\sin^2t+b2\cos^2t}dt
$$

积分变量只是个符号，叫$x$还是$t$不影响结果，所以两边积分完全相等。

另外补充个小知识点：椭圆的标准参数方程是 $x = a\cos\theta$，$y = b\sin\theta$，周长就是对弧长元素 $ds = \sqrt{(dx/d\theta)^2 + (dy/d\theta)^2}d\theta$ 从$0$到$2\pi$积分，算出来就是右边的式子；左边的积分本质上只是把参数方程里的$\cos$和$\sin$互换，相当于把椭圆绕中心旋转了90度，周长自然不会改变。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者boaz