以下是针对给定斐波那契数列恒等式的详细证明，先明确数列定义：

斐波那契数列定义 #

数列 ${a_n}$ 满足：

• 初始条件：$a_1 = a_2 = 1$，$a_3 = 2$
• 递推公式：对任意 $n \geq 3$，$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$

(i) 前 $n$ 项和公式：$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_{n+2} - 1$

证明：
利用递推公式的变形：对任意 $k \geq 1$，$a_k = a_{k+2} - a_{k+1}$（由 $a_{k+2} = a_{k+1} + a_k$ 移项可得）。

将前 $n$ 项和展开为望远镜求和：
$$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=1}^n (a_{k+2} - a_{k+1}) \
&= (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_{n+2} - a_{n+1})
\end{align*}
$$
中间项全部抵消，仅剩首尾项：
$$
= a_{n+2} - a_2
$$
代入 $a_2 = 1$，得 $\sum_{k=1}^n a_k = a_{n+2} - 1$，得证。

(ii) 奇数项前 $n$ 项和：$a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1} = a_{2n}$

证明：
用数学归纳法：

• 基例：当 $n=1$ 时，左边 $=a_1=1$，右边 $=a_2=1$，等式成立。
• 归纳假设：假设 $n=k$ 时等式成立，即 $\sum_{i=1}^k a_{2i-1} = a_{2k}$。
• 归纳步骤：当 $n=k+1$ 时，左边为：
  $$
  \sum_{i=1}^{k+1} a_{2i-1} = \sum_{i=1}^k a_{2i-1} + a_{2k+1} = a_{2k} + a_{2k+1}
  $$
  由递推公式，$a_{2k} + a_{2k+1} = a_{2k+2} = a_{2(k+1)}$，与右边相等。

由数学归纳法，对所有正整数 $n$ 等式成立。

(iii) 偶数项前 $n$ 项和：$a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = a_{2n+1} - 1$

证明：
结合(i)和(ii)的结论推导：
前 $2n$ 项和为 $\sum_{k=1}^{2n} a_k = a_{2n+2} - 1$（由(i)），而前 $2n$ 项和可拆分为奇数项和加偶数项和：
$$
\sum_{k=1}^{2n} a_k = \sum_{i=1}^n a_{2i-1} + \sum_{i=1}^n a_{2i}
$$
代入(ii)的结论 $\sum_{i=1}^n a_{2i-1} = a_{2n}$，得：
$$
a_{2n+2} - 1 = a_{2n} + \sum_{i=1}^n a_{2i}
$$
由递推公式 $a_{2n+2} = a_{2n+1} + a_{2n}$，代入后整理：
$$
\sum_{i=1}^n a_{2i} = a_{2n+1} - 1
$$
得证。

(iv) Cassini恒等式：$a_{n+1}^2 = a_n \cdot a_{n+2} + (-1)^n$

证明：
用数学归纳法：

• 基例：当 $n=1$ 时，左边 $=a_2^2=1$，右边 $=a_1a_3 + (-1)^1=1 \cdot 2 -1=1$，等式成立。
• 归纳假设：假设 $n=k$ 时等式成立，即 $a_{k+1}^2 = a_k a_{k+2} + (-1)^k$。
• 归纳步骤：当 $n=k+1$ 时，需证 $a_{k+2}^2 = a_{k+1}a_{k+3} + (-1)^{k+1}$。
  由递推公式 $a_{k+3}=a_{k+2}+a_{k+1}$，右边展开为：
  $$
  a_{k+1}(a_{k+2}+a_{k+1}) + (-1)^{k+1} = a_{k+1}a_{k+2} + a_{k+1}^2 - (-1)^k
  $$
  代入归纳假设 $a_{k+1}^2 - (-1)^k = a_k a_{k+2}$，得：
  $$
  a_{k+1}a_{k+2} + a_k a_{k+2} = a_{k+2}(a_{k+1}+a_k) = a_{k+2}^2
  $$
  与左边相等，等式成立。

由数学归纳法，对所有正整数 $n$ 等式成立。

(v) 相邻项乘积前 $2n-1$ 项和：$\sum_{k=1}^{2n-1} a_k a_{k+1} = (a_{2n})^2$

证明：
用数学归纳法：

• 基例：当 $n=1$ 时，左边 $=a_1a_2=1$，右边 $=a_2^2=1$，等式成立。
• 归纳假设：假设 $n=k$ 时等式成立，即 $\sum_{i=1}^{2k-1} a_i a_{i+1} = (a_{2k})^2$。
• 归纳步骤：当 $n=k+1$ 时，左边为：
  $$
  (a_{2k})^2 + a_{2k}a_{2k+1} + a_{2k+1}a_{2k+2}
  $$
  由递推公式 $a_{2k+2}=a_{2k+1}+a_{2k}$，右边目标 $(a_{2k+2})^2$ 展开为：
  $$
  (a_{2k+1}+a_{2k})^2 = a_{2k+1}^2 + 2a_{2k}a_{2k+1} + a_{2k}^2
  $$
  将左边展开并整理：
  $$
  (a_{2k})^2 + a_{2k}a_{2k+1} + a_{2k+1}(a_{2k+1}+a_{2k}) = a_{2k}^2 + 2a_{2k}a_{2k+1} + a_{2k+1}^2
  $$
  与右边相等，等式成立。

由数学归纳法，得证。

(vi) 相邻项乘积前 $2n$ 项和：$\sum_{k=1}^{2n} a_k a_{k+1} = (a_{2n+1})^2 - 1$

证明：
用数学归纳法：

• 基例：当 $n=1$ 时，左边 $=a_1a_2+a_2a_3=1+2=3$，右边 $=a_3^2-1=4-1=3$，等式成立。
• 归纳假设：假设 $n=k$ 时等式成立，即 $\sum_{i=1}^{2k} a_i a_{i+1} = (a_{2k+1})^2 -1$。
• 归纳步骤：当 $n=k+1$ 时，左边为：
  $$
  (a_{2k+1})^2 -1 + a_{2k+1}a_{2k+2} + a_{2k+2}a_{2k+3}
  $$
  由递推公式 $a_{2k+3}=a_{2k+2}+a_{2k+1}$，右边目标 $(a_{2k+3})^2 -1$ 展开为：
  $$
  (a_{2k+2}+a_{2k+1})^2 -1 = a_{2k+2}^2 + 2a_{2k+1}a_{2k+2} + a_{2k+1}^2 -1
  $$
  将左边展开并整理：
  $$
  (a_{2k+1})^2 -1 + a_{2k+1}a_{2k+2} + a_{2k+2}(a_{2k+2}+a_{2k+1}) = a_{2k+1}^2 + 2a_{2k+1}a_{2k+2} + a_{2k+2}^2 -1
  $$
  与右边相等，等式成立。

由数学归纳法，得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shresth Jain