提问背景 #

我最近在读《Algorithms for Optimization》这本书，在引言部分看到了这样一段话：

Modern calculus stems from the developments of Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) and Sir Isaac Newton (1642–1727). Both differential and integral calculus make use of the notion of convergence of infinite series to a well-defined limit.

我一直有点困惑最后这句话的意思——我熟悉用黎曼积分计算定积分，但不太理解不定积分和微分运算是怎么和“无穷级数收敛”这个概念扯上关系的？

解答 #

嘿，这个问题问得特别到位！咱们平时学微积分的时候，可能更多是背公式、算例题，没太往“极限收敛”的根儿上钻，但其实牛顿和莱布尼茨最初构建微积分的核心，就是把“无穷过程的收敛”作为底层逻辑，不管是微分、不定积分还是定积分，都绕不开这个点：

• 微分和级数收敛的关联
  咱们平时算导数，用的是极限定义：f’(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h，这看起来和级数没关系，但如果往深了说，很多函数的微分性质依赖于它们的无穷级数展开。比如泰勒级数，我们把一个光滑函数展开成f(x) = Σ(n=0到∞) [f^(n)(a)/n!](x-a)^n，这个展开式要能代表原函数，前提就是这个无穷级数在某个区间内收敛到f(x)。而且，我们对这个级数逐项求导得到的导数级数，也必须收敛到f’(x)，这样逐项求导的操作才合法。比如e^{x的泰勒级数，在整个实数轴上收敛，我们才能放心地对它逐项求导，得到的结果还是e}x，这背后全靠级数收敛做支撑。

• 不定积分和级数收敛的关联
  不定积分是求原函数，但很多初等函数的原函数根本没法用初等函数表示（比如高斯积分∫e^(-x²)dx），这时候我们就会用无穷级数来表示原函数：先把被积函数展开成收敛的泰勒级数，然后逐项积分，得到一个新的无穷级数，这个级数的收敛性就决定了它是不是真的等于原函数。另外，从本质上讲，不定积分的原函数存在性，有时候也和级数的一致收敛性挂钩——比如函数项级数一致收敛的话，逐项积分后得到的级数就是原函数的级数表示，这也是级数收敛概念在不定积分里的体现。

• 黎曼积分和级数收敛的关联（再挖一层你熟悉的内容）
  你熟悉的黎曼积分，其实就是黎曼和的极限：∫(a到b)f(x)dx = lim(n→∞) Σ(i=1到n) f(ξ_i)Δx_i，这里的黎曼和当n趋向无穷时，就是一个“无穷项的和”（虽然每一项Δx_i趋向0，但项数趋向无穷），它的收敛性直接决定了黎曼积分是否存在。这本质上和无穷级数的收敛是同一种极限思想——都是无穷多个“小项”加起来，最终趋向一个确定的有限值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1380196