嘿，我来一步步帮你搞定这个消元矩阵的问题～这题出自Gilbert Strang的《Introduction to Linear Algebra》，先把问题明确下：

Given matrix
$$
A = \begin{bmatrix}
1&1&0 \
4&6&1 \
-2&2&0
\end{bmatrix},
$$
create $3$ elimination matrices $E_{21}$, $E_{31}$, and $E_{32}$ such that $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$, an upper triangle matrix.

你说的思路完全正确：消元矩阵是基于单位矩阵修改而来，找到要消除元素与对应主元的比值，取反后放到单位矩阵的目标位置就行。我来帮你把三个矩阵都算出来，顺便验证下结果：

第一步：构造$E_{21}$ #

我们要消除$A$中$(2,1)$位置的元素$4$，主元是$a_{11}=1$，所以乘数是$-4$（也就是$-\frac{a_{21}}{a_{11}}$）。把这个值放到单位矩阵的$(2,1)$位置，得到：
$$E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \ -4&1&0 \ 0&0&1 \end{bmatrix}$$
左乘$A$后得到中间矩阵$A_1$：
$$A_1 = E_{21}A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \ 0&2&1 \ -2&2&0 \end{bmatrix}$$

第二步：构造$E_{31}$ #

接下来消除$A_1$中$(3,1)$位置的元素$-2$，主元还是$a_{11}=1$，乘数是$2$（也就是$-\frac{a_{31}}{a_{11}} = -\frac{-2}{1}=2$）。放到单位矩阵的$(3,1)$位置：
$$E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \ 0&1&0 \ 2&0&1 \end{bmatrix}$$
左乘$A_1$得到$A_2$：
$$A_2 = E_{31}A_1 = \begin{bmatrix} 1&1&0 \ 0&2&1 \ 0&4&0 \end{bmatrix}$$

第三步：构造$E_{32}$ #

最后要消除$A_2$中$(3,2)$位置的元素$4$，这时候主元是$a_{22}=2$，乘数是$-2$（也就是$-\frac{a_{32}}{a_{22}} = -\frac{4}{2}=-2$）。放到单位矩阵的$(3,2)$位置：
$$E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \ 0&1&0 \ 0&-2&1 \end{bmatrix}$$
左乘$A_2$就得到上三角矩阵$U$：
$$U = E_{32}A_2 = \begin{bmatrix} 1&1&0 \ 0&2&1 \ 0&0&-2 \end{bmatrix}$$

这里要注意：矩阵乘法不满足交换律，必须严格按照$E_{32}E_{31}E_{21}A$的顺序计算，才能得到正确的上三角矩阵哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SteveV