我来分享下我对这个方程（其中x、n均为整数）的分析过程，一步步拆解看看有没有解：

第一步：排除n为偶数且n>1的情况 #

如果n是偶数，设n=2k（k为整数），方程可改写为$(5^k)2 - x^2 = 1$，也就是两个平方数的差为1。我们知道连续平方数的差公式是：
$$(y+1)^2 - y^2 = y^2 + 2y + 1 - y^2 = 2y + 1$$
要让这个差等于1，只能是$2y+1=1$，解得$y=0$，对应平方数$0^2$和$12$。也就是说，只有当$5^k=1$（即k=0，n=0）时，$x=0$是解；当n>1的偶数时，不存在这样的整数x。所以如果存在非平凡解（n≥1），n必须是奇数。

第二步：用模运算缩小n的范围 #

我尝试用不同的模数来进一步限制n的可能值：

模7分析

先看5的幂次在模7下的周期：

• $5^1 \equiv 5 \pmod{7}$，$5^2 \equiv 4 \pmod{7}$，$5^3 \equiv 6 \pmod{7}$
• $5^4 \equiv 2 \pmod{7}$，$5^5 \equiv 3 \pmod{7}$，$5^6 \equiv 1 \pmod{7}$，周期为6

而模7下的平方剩余只有0、1、2、4（验证：$0^2≡0$，$12≡1$，$2^2≡4$，$32≡2$，$4^2≡2$，$52≡4$，$6^2≡1$）。

对于奇数n，分三种情况：

• n=6k+1：$5^{n≡5$，则$x}2≡5-1=4 \pmod{7}$，4是平方剩余，暂时保留；
• n=6k+3：$5^{n≡6$，则$x}2≡6-1=5 \pmod{7}$，5不是平方剩余，直接排除；
• n=6k+5：$5^{n≡3$，则$x}2≡3-1=2 \pmod{7}$，2是平方剩余，暂时保留。

这一步把n的范围缩小到了n≡1或5 mod 6的奇数。

模16分析

再看5的幂次在模16下的周期：

• $5^1≡5$，$52≡9$，$5^3≡13$，$54≡1 \pmod{16}$，周期为4

对于奇数n，分两种情况：

• n=4k+1：$5^{n≡5$，则$x}2≡5-1=4 \pmod{16}$，4是平方剩余（$2^2=4$，$142=196≡4$），保留；
• n=4k+3：$5^{n≡13$，则$x}2≡13-1=12 \pmod{16}$，但模16的平方剩余只有0、1、4、9，12不在其中，直接排除。

结合模6的结果，最终n只能是≡1 mod 12的奇数（因为n≡1或5 mod6，同时要满足n≡1 mod4，只有n≡1 mod12符合）。

第三步：枚举小值验证+定理佐证 #

先枚举几个小的奇数n：

• n=1：$5^1-1=4=22$，x=±2，这是一个有效解；
• n=3：$5^{3-1=124$，不是平方数（$11}2=121$，$12^2=144$）；
• n=5：$5^{5-1=3124$，不是平方数（$55}2=3025$，$56^2=3136$）；
• n=7：$5^{7-1=78124$，也不是平方数（$279}2=77841$，$280^2=78400$）。

如果想进一步证明n≥2时无解，可以用Mihăilescu定理（原Catalan猜想）：除了$3^2 - 2^{3=1$，不存在两个大于1的正整数的幂是连续的正整数。我们的方程是$5}n - x^{2=1$，也就是$5}n$和$x^{2$是连续正整数，根据这个定理，除了n=1时的$5}1$和$2^2$，没有其他正整数解。

另外，也可以通过佩尔方程分析：当n为奇数时，设n=2k+1，方程变为$x^2 -5*(5^k)2=-1$，这是佩尔型方程$x^2-5y2=-1$，其基本解为(2,1)，后续解的y值会包含其他质因数，不可能是5的幂次，因此只有y=1（对应k=0，n=1）时是解。

最终结论 #

方程$5^n -1=x^2$的整数解为：

• n=0，x=0；
• n=1，x=±2；
• n≥2时，无整数解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nathan Koop